Question

（2013•門頭溝區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知矩形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別是B（1，0）、C（3，0）．直線AC與y軸交于點(diǎn)G（0，6）．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．同時(shí)動(dòng)點(diǎn) Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度均為每秒1個(gè)單位，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB交AC于點(diǎn)E．
（1）求直線AC的解析式；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△CQE的面積最大？最大值為多少？
（3）在動(dòng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)t為何值時(shí)，在矩形ABCD內(nèi)（包括邊界）存在點(diǎn)H，使得以C、Q、E、H為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，將G（0，6）、C（3，0）兩點(diǎn)代入，即可求出k、b的值，從而得到一次函數(shù)解析式．
（2）將△CQE的底和高用含x的代數(shù)式表示出來(lái)，列出關(guān)于x的二次函數(shù)解析式，求最值即可．
（3）求出CM的關(guān)于t的表達(dá)式，根據(jù)四邊形CQEH為菱形求得H=CQ=t，再利用勾股定理求出t的值即可．

解答：解：（1）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b．
∵直線AC經(jīng)過(guò)G（0，6）、C（3，0）兩點(diǎn)，
∴

b=6 3k+b=0.

解這個(gè)方程組，得

k=-2 b=6.

∴直線AC的解析式為y=-2x+6． 
（2）當(dāng)x=1時(shí)，y=4．
∴A（1，4）．
∵AP=CQ=t，
∴點(diǎn)P（1，4-t）．
將y=4-t代入y=-2x+6中，得點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為x=1+

t

2

．
∴點(diǎn)E到CD的距離為2-

t

2

．
∴S_△CQE=

1

2

•t•(2-

t

2

)=-

1

4

t2+t=-

1

4

(t-2)2+1．
∴當(dāng)t=2時(shí)，S_△CQE最大，最大值為1．
（3）過(guò)點(diǎn)E作FM∥DC，交AD于F，交BC于M．
當(dāng)點(diǎn)H在點(diǎn)E的下方時(shí)，連結(jié)CH．
∵EM=4-t，
∴HM=4-2t．
∵OM=1+

t

2

，
∴CM=2-

t

2

．
∵四邊形CQEH為菱形，
∴CH=CQ=t．
在Rt△HMC中，由勾股定理得CH²=HM²+CM²．
∴t2=(4-2t)2+(2-

t

2

)2．
整理得 13t²-72t+80=0．
解得 t1=

20

13

，t₂=4（舍）．
∴當(dāng)t=

20

13

時(shí)，以C，Q，E，H為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．
當(dāng)點(diǎn)H在點(diǎn)E的上方時(shí)，同理可得當(dāng)t=20-8

5

時(shí)．以C，Q，E，H為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．
∴t的值是t=

20

13

或t=20-8

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)綜合題，包括待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、二次函數(shù)最值、菱形的性質(zhì)，難度較大．