Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，點B的坐標(biāo)為（4，3）．平行于對角線AC的直線m從原點O出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動，設(shè)直線m與矩形OABC的兩邊分別交于點M、N，直線m運動的時間為t（秒）．
（1）點A的坐標(biāo)是

 

，點C的坐標(biāo)是

 

；
（2）當(dāng)t=

 

秒或

 

秒時，MN=

1

2

AC；
（3）設(shè)△OMN的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（4）探求（3）中得到的函數(shù)S有沒有最大值？若有，求出最大值；若沒有，要說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)B點的坐標(biāo)即可求出A、C的坐標(biāo)．
（2）當(dāng)MN=

1

2

AC時，有兩種情況，①MN是△OAC的中位線，此時OM=

1

2

OA=2，因此t=2；
②當(dāng)MN是△ABC的中位線時，OM=

3

2

OA=6，因此t=6；
（3）本題要分類進(jìn)行討論：
①當(dāng)直線m在AC下方或與AC重合時，即當(dāng)0＜t≤4時，可根據(jù)△OMN∽△OAC，用兩三角形的相似比求出面積比，即可得出S與t的函數(shù)關(guān)系式．
②當(dāng)直線m在AC上方時，即當(dāng)4＜t＜8時，可用矩形OABC的面積-三角形BMN的面積-三角形OCN的面積-三角形OAM的面積來求得．（也可過O作直線m的垂線設(shè)垂足為F，那么在直角三角形OMF中，可根據(jù)OD的長和∠ODE的正弦值求出OF的長，求MN的方法一樣）．
（4）根據(jù)（3）得出的函數(shù)的性質(zhì)和自變量的取值范圍即可求出面積S的最大值及對應(yīng)的t的值．

解答：解：（1）（4，0），（0，3）；

（2）當(dāng)MN=

1

2

AC時，有兩種情況，
①MN是△OAC的中位線，此時OM=

1

2

OA=2，因此t=2；
②當(dāng)MN是△ABC的中位線時，
∴AM=

1

2

AB=

3

2

，OA=4，
∴AD=

AM

tan∠EDO

=

3 2

3 4

=2
∴OD=OA+AD=4+2=6，因此t=6；

（3）當(dāng)0＜t≤4時，OM=t
∵由△OMN∽△OAC，得

OM

OA

=

ON

OC

，
∴ON=

3

4

t，S=

3

8

t²
當(dāng)4＜t＜8時，
如圖，∵OD=t，
∴AD=t-4
方法一：
由△DAM∽△AOC，可得AM=

3

4

（t-4）
∴BM=6-

3

4

t
由△BMN∽△BAC，可得BN=

4

3

BM=8-t
∴CN=t-4
S=矩形OABC的面積-Rt△OAM的面積-Rt△MBN的面積-Rt△NCO的面積
=12-

3

2

（t-4）-

1

2

（8-t）（6-

3

4

t）-

3

2

(t-4)=-

3

8

t²+3t
方法二：
易知四邊形ADNC是平行四邊形，
∴CN=AD=t-4，BN=8-t．
由△BMN∽△BAC，可得BM=

3

4

BN=6-

3

4

t，
∴AM=

3

4

（t-4）
以下同方法一．

（4）有最大值．
方法一：
當(dāng)0＜t≤4時，
∵拋物線S=

3

8

t²的開口向上，在對稱軸t=0的右邊，S隨t的增大而增大
∴當(dāng)t=4時，S可取到最大值

3

8

×4²=6；（11分）
當(dāng)4＜t＜8時，
∵拋物線S=-

3

8

t²+3t的開口向下，它的頂點是（4，6），
∴S≤6．
綜上，當(dāng)t=4時，S有最大值6．
方法二：
∵S=

3 8 t2，0＜t≤4 - 3 8 t2+3t，4＜t＜8

∴當(dāng)0＜t＜8時，畫出S與t的函數(shù)關(guān)系圖象
如圖所示．
顯然，當(dāng)t=4時，S有最大值6．

點評：本題考查了矩形的性質(zhì)，二次函數(shù)的應(yīng)用、圖形的面積求法等知識及綜合應(yīng)用知識、解決問題的能力．