Question

如圖，已知拋物線y=x²2x＋1的頂點為P，A為拋物線與y軸的交點，過A與y軸垂直的直線與拋物線的另一交點為B，與拋物線對稱軸交于點O′，過點B和P的直線l交y軸于點C，連結O′C，將△ACO′沿O′C翻折后，點A落在點D的位置．

(1) 求直線l的函數(shù)解析式；

(2) 求點D的坐標；

(3)拋物線上是否存在點Q，使得S_△DQC= S_△DPB? 若存在，求出所有符合條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

．(1) 配方,得y=(x2)² 1，∴拋物線的對稱軸為直線x=2，頂點為P(2，1) ．

取x=0代入y=x² 2x＋1，得y=1，∴點A的坐標是(0，1)．由拋物線的對稱性知，點A(0，1)與點B關于直線x=2對稱，∴點B的坐標是(4，1)．

設直線l的解析式為y=kx＋b(k≠0)，將B、P的坐標代入，有

解得∴直線l的解析式為y=x3．

(2) 連結AD交O′C于點E，∵ 點D由點A沿O′C翻折后得到，

∴ O′C垂直平分AD．

由(1)知，點C的坐標為(0，3)，∴ 在Rt△AO′C中，O′A=2，AC=4，∴ O′C=2．

據(jù)面積關系，有 ×O′C×AE=×O′A×CA，∴ AE=，AD=2AE=．

作DF⊥AB于F，易證Rt△ADF∽Rt△CO′A，∴，

∴ AF=?AC=，DF=?O′A=，

又 ∵OA=1，∴點D的縱坐標為1= ，∴ 點D的坐標為(，)．

(3) 顯然，O′P∥AC，且O′為AB的中點，

∴ 點P是線段BC的中點，∴ S_△DPC= S_△DPB ．

故要使S_△DQC= S_△DPB，只需S_△DQC=S_△DPC ．

過P作直線m與CD平行，則直線m上的任意一點與CD構成的三角形的面積都等于S_△DPC ，故m與拋物線的交點即符合條件的Q點．

容易求得過點C(0，3)、D(，)的直線的解析式為y=x3，

據(jù)直線m的作法，可以求得直線m的解析式為y=x．

令x²2x＋1=x，解得 x₁=2，x₂=，代入y=x，得y₁= 1，y₂=，

因此，拋物線上存在兩點Q₁(2，1)(即點P)和Q₂(，)，使得S_△DQC= S_△DPB．