Question

【題目】在Rt△ABC中，BC=2，AC=4，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，P為AC邊上一動(dòng)點(diǎn)．△BDP沿著PD所在的直線翻折，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為E．

（1）若PD⊥AB，求AP．

（2）當(dāng)AD=PE時(shí)，求證：四邊形BDEP為菱形．

（3）若△PDE與△ABC重合部分的面積等于△PAB面積的，求AP．

Answer 1

【答案】(1);(2)見解析：(3) AP=3或.

【解析】

（1）如圖1，根據(jù)勾股定理可求出AB，從而得到AD、BD的值，易證△ADP∽△ACB，只需運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)就可求出AP的值；

（2）由折疊可得：PE=PB，DE=DB，又有AD=PE，AD=DB，從而PE=PB=DB=DE，然后根據(jù)四條邊相等的四邊形形是菱形即可證明四邊形BDEP為菱形；

（3）根據(jù)條件可得S△PDF=S△PAB=S△ADP=S△EDP，從而可得AF=PF，EF=DF．而符合條件的位置有兩個(gè)（圖3、圖4），需分兩種情況討論：①如圖3，根據(jù)三角形中位線定理可得DF∥BP，則有∠EDP=∠BPD．由折疊可得∠BDP=∠EDP，從而可得∠BDP=∠BPD，即可得到BP=BD=2，在Rt△BCP中運(yùn)用勾股定理可求出PC，就可得到AP的值；②如圖4，連接AE，由AF=PF，EF=DF可得四邊形AEDP是平行四邊形，則有AP=ED，由折疊可得DE=DB，即可得到AP=DB=2．

解：（1）如圖1，

∵∠C=90°，BC=2，AC=4，

∴AB==2．

∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，

∴AD=BD=．

∵PD⊥AB，

∴∠ADP=90°．

∵∠A=∠A，∠ADP=∠C，

∴△ADP∽△ACB，

∴=，

∴=，

∴AP=；

（2）證明：如圖2，

由折疊可得：PE=PB，DE=DB．

∵AD=PE，AD=DB，

∴PE=PB=DB=DE，

∴四邊形BDEP為菱形；

（3）∵點(diǎn)D是線段AB的中點(diǎn)，

∴S△ADP=S△BDP=S△PAB．

由折疊可得：S△EDP=S△BDP，

∴S△PDF=S△PAB=S△ADP=S△EDP，

∴AF=PF，EF=DF．

①如圖3，

根據(jù)三角形中位線定理可得：DF∥BP，

∴∠EDP=∠BPD．

由折疊可得∠BDP=∠EDP，

∴∠BDP=∠BPD，

∴BP=BD=，

∴PC===1，

∴AP=4﹣1=3；

②如圖4，

連接AE，

∵AF=DF，EF=PF，

∴四邊形AEDP是平行四邊形，

∴AP=ED，

由折疊可得：DE=DB，

∴AP=DB=．

綜上所述：AP=3或．