Question

已知正方形ABCD的邊長為12，E，F(xiàn)分別是AD，CD上的點(diǎn)，且EF=10，∠EBF=45°，則AE的長為________．

Answer 1

6或4
分析：延長DA到M點(diǎn)，使MA=FC，連接BM，通過求證△ABM≌△CBF，推出∠CBF=∠ABM，BF=BM，再根據(jù)∠EBF=45°，依據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠ABE+∠CBF=45°，通過等量代換即可推出∠EBM=45°，根據(jù)全等三角形的判定定理（SAS），求證△FBE≌△MBE，求出EM=EF=10，然后根據(jù)CD=DA=12，設(shè)AE=x，F(xiàn)C=y，則DF=12-y，DE，=12-x，由Rt△DEF，依據(jù)勾股定理可推出（12-x）²+（12-y）²=10²，題意列出方程組，通過解方程組即可求出x的值，即AE的長度．
解答：解：延長DA到M點(diǎn)，使MA=FC，連接BM，
∵正方形ABCD的邊長為12，
∴AB=BC=CD=DA=12，∠D=∠C=∠CBA=∠DAB=90°，
∴∠BAM=90°，
∵在△ABM和△CBF中，
，
∴△ABM≌△CBF（SAS），
∴∠CBF=∠ABM，BF=BM，
∵∠EBF=45°，
∴∠ABE+∠CBF=45°，
∴∠ABE+∠ABM=45°，即∠EBM=45°，
在△FBE和△MBE中，
，
∴△FBE≌△MBE（SAS），
∴EM=EF，
∵EF=10，
∴DF²+DE²=EF²，
AE+AM=10，
設(shè)AE=x，F(xiàn)C=y，
則DF=12-y，DE=12-x，
∴，
∴整理方程組得，
∴把①代入②得：x²-10x+24=0，
∴（x-4）（x-6）=0，
∴x₁=6，x₂=4，
∴AE=6或AE=4．
故答案為6或者4．
點(diǎn)評：本題主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵在于正確的做出輔助線，根據(jù)相關(guān)線段的數(shù)量關(guān)系和勾股定理推出二元二次方程組，正確的解方程即可．