Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦AC平分∠DAB，過點A作直線l的垂線，垂足為點D．
（1）求證：直線l是⊙O的切線；
（2）若AD=6，AB=8，求AC的長；
（3）若tan∠DAC=

3

4

，AC=8，求AB的長．

Answer 1

考點：切線的判定,勾股定理,相似三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）求出OC∥AD，推出∠OCD=∠ADC=90°，根據(jù)切線的判定得出即可；
（2）證△DAC∽△CAB，得出比例式，代入求出即可；
（3）求出tan∠BAC=tan∠DAC=

3

4

，求出tan∠BAC=

BC

AC

=

BC

8

=

3

4

，求出BC，根據(jù)勾股定理求出AB即可．

解答：證明：（1）∵弦AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠BAC，
∴∠DAC=∠ACO，
∴OC∥AD，
∵過點A作直線l的垂線，垂足為點D，
∴∠OCD=∠ADC=90°，
∴直線l是⊙O的切線；

（2）解：連接BC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=∠ADC=90°，
∵∠DAC=∠BAC，
∴△DAC∽△CAB，
∴

AD

AC

=

AC

AB

，
∴

6

AC

=

AC

8

，
∴AC=4

3

；

（3）解：∵tan∠DAC=

3

4

，∠DAC=∠BAC，
∴tan∠BAC=tan∠DAC=

3

4

在Rt△CAB中，
∵tan∠BAC=

BC

AC

=

BC

8

=

3

4

，
∴BC=6，
AB=

AC2+BC2

=

82+62

=10．

點評：本題考查了切線的判定，平行線的性質和判定，勾股定理，相似三角形的性質和判定，解直角三角形的應用，題目綜合性比較強，難度適中．