Question

【題目】如圖，點(diǎn)D是⊙O的直徑CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)B在⊙O上，且∠DBA＝∠BCD．

（1）根據(jù)你的判斷：BD是⊙O的切線嗎？為什么？．

（2）若點(diǎn)E是劣弧BC上一點(diǎn)，AE與BC相交于點(diǎn)F，且△BEF的面積為10，cos∠BFA＝，那么，你能求出△ACF的面積嗎？若能，請(qǐng)你求出其面積；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）BD是⊙O的切線,理由見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）BD是⊙O的切線．先連接OB，由于AC是直徑，那么∠ABC=90°，于是∠1+∠C=90°，而OA=OB，可得∠1=∠2，結(jié)合∠3=∠C，易得∠2+∠3=90°，從而可證DB是⊙O的切線；

（2）由于cos∠BFA=，那么，利用圓周角定理可知∠E=∠C，∠4=∠5，易證△EBF∽△CAF，于是，從而易求△ACF的面積．

（1）BD是⊙O的切線．

理由：如圖所示，連接OB，

∵AC是⊙O的直徑，

∴∠ABC=90°，

∴∠1+∠C=90°，

∵OA=OB，

∴∠1=∠2，

∴∠2+∠C=90°，

∵∠3=∠C，

∴∠2+∠3=90°，

∴DB是⊙O的切線；

（2）在Rt△ABF中，

∵cos∠BFA=，

∴，

∵∠E=∠C，∠4=∠5，

∴△EBF∽△CAF，

∴，

即，

解之得：S△ACF=22.5．