Question

如圖1，△ABC，△AED都是等腰直角三角形，∠ABC=∠E=90°，AE=a，AB=b，且（a＜b），點D在AC上，連接BD，BD=c．
（1）如果c=

5

2

a，①求

a

b

的值；
②若a，b是關(guān)于x的方程x²-mx+

1

25

m²-

2

5

m+

3

5

=0的兩根，求m；
（2）如圖2，將△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使BE=100，連接DC，求五邊形ABCDE的面積．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),根與系數(shù)的關(guān)系,勾股定理,等腰直角三角形

專題：

分析：（1）①延長ED交BC于點F，表示出DF、BF，然后利用勾股定理列出方程，再把c=

5

2

a代入求出a、b的關(guān)系即可；
②利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出a+b，ab，然后消掉a、b得到關(guān)于m的一元二次方程，然后求解即可；
（2）過A，C，D分別向BE作垂線，垂足分別為H，M，N，根據(jù)同角的余角相等求出∠HAE=∠NED，然后利用“角角邊”證明△AHE和△END全等，同理可證△AHB≌BMC，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AH=MB=EN，MC=BH，DN=EH，設(shè)AH=h，然后根據(jù)五邊形的面積等于兩對全等三角形的面積加上梯形的面積列式整理即可得解．

解答：（1）解：①延長ED交BC于點F，
DF=b-a，BF=a，
在Rt△DHB中由勾股定理得，a²+（b-a）²=c²，
又∵c=

5

2

a，
∴（a-2b）（3a-2b）=0，
∴a=2b或3a=2b，
又∵a＜b，
∴

a

b

=

2

3

；
②由根與系數(shù)的關(guān)系a+b=m，ab=

1

25

m²-

2

5

m+

3

5

，
由a+b=m，

a

b

=

2

3

，
解得a=

2

5

m，b=

3

5

m，
所以，

6

25

m²=

1

25

m²-

2

5

m+

3

5

，
整理得，m²+2m-3=0，
解得m₁=-3，m₂=1，
∵a+b=m＞0，
∴m=1，
當(dāng)m=1時，方程為x²-x+

6

25

=0，這個方程有兩個不相等的正根，
所以，m=1符合題意；

（2）解：過A，C，D分別向BE作垂線，垂足分別為H，M，N，
∵∠AEH+∠DEN=90°，
∠AEH+∠HAE=90°，
∴∠HAE=∠NED，
在△AHE與△END中，

∠HAE=∠NED ∠AHE=∠END AE=ED

，
∴△AHE≌△END（AAS），
同理可證△AHB≌BMC，
則AH=MB=EN，MC=BH，DN=EH，
設(shè)AH=h，
五邊形ABCDE的面積為100h+

100×(100-2h)

2

=5000．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根與系數(shù)的關(guān)系，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，難點在于作輔助線構(gòu)造出全等三角形．