Question

已知△AOD≌△AOE，∠ADO=90°，點B在邊DO上，點C在OE的延長線上，且∠AOC=∠BAC=60°．
（1）求證：△ABC是等邊三角形；
（2）求證：OB+OC=OA；
（3）若BA=5，OA=7，求△BOC的周長．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：計算題

分析：（1）由已知三角形全等，得到對應角相等，對應邊相等，進而得到∠DAB=∠EAC，再由一對直角相等，且夾邊AD=AE，利用ASA得到三角形ADB與三角形AEC全等，利用全等三角形對應邊相等得到AB=AC，再由∠BAC=60°，利用有一個角為60°的等腰三角形為等邊三角形即可得證；
（2）延長OC到F，使得CF=OB，連結AF，根據(jù)三角形ABC為等邊三角形得到AB=AC，由三角形ADB與三角形AEC全等，利用全等三角形對應角相等得到一對角相等，利用等角的補角相等得到夾角相等，利用SAS得到三角形ABO與三角形ACF全等，進而得到AO=AF，由∠ACF=60°，得到三角形ACF為等邊三角形，根據(jù)OA=OF，等量代換即可得證；
（3）表示出三角形BOC的周長，等量代換即可求出．

解答：（1）證明：∵△AOD≌△AOE，∠D=90°，
∴∠AOD=∠AOC=60°，∠DAO=∠EAO=30°，AD=AE，
∴∠DAE=60°，
∵∠BAC=60°，
∴∠DAB=∠EAC=60°-∠BAE，
在△ADB和△AEC中，

∠D=∠AEC=90° AD=AE ∠DAB=∠EAC

，
∴△ADB≌△AEC（ASA），
∴AB=AC，
∵∠BAC=60°，
∴△ABC是等邊三角形；
（2）證明：延長OC到F，使得CF=OB，連結AF，
∵△ADB≌△AEC，
∴∠ABD=∠ACE，即∠ABO=∠ACF，
在△ABO和△ACF中，

AB=AC ∠ABO=∠ACF BO=CF

，
∴△ABO≌△ACF（SAS），
∴AO=AF，
∵∠AOF=60°，
∴△AOF是等邊三角形，即AO=OF，
∴AO=OB+OC；
（3）解：∵OA=OF=OC+CF=OC+OB，BC=AB，
∴△OBC的周長=OB+OC+BC=OA+BC=OA+AB=12．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關鍵．