Question

如圖，AB、CD為⊙O的直徑，弦AE∥CD，連接BE交CD于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)E作直線EP與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，使∠PED=∠C．

（1）求證：PE是⊙O的切線；

（2）求證：ED平分∠BEP；

（3）若⊙O的半徑為5，CF=2EF，求PD的長(zhǎng)．

Answer 1

【考點(diǎn)】切線的判定．

【專(zhuān)題】證明題．

【分析】（1）如圖，連接OE．欲證明PE是⊙O的切線，只需推知OE⊥PE即可；

（2）由圓周角定理得到∠AEB=∠CED=90°，根據(jù)“同角的余角相等”推知∠3=∠4，結(jié)合已知條件證得結(jié)論；

（3）設(shè)EF=x，則CF=2x，在RT△OEF中，根據(jù)勾股定理得出5²=x²+（2x﹣5）²，求得EF=4，進(jìn)而求得BE=8，CF=8，在RT△AEB中，根據(jù)勾股定理求得AE=6，然后根據(jù)△AEB∽△EFP，得出=，求得PF=，即可求得PD的長(zhǎng)．

【解答】（1）證明：如圖，連接OE．

∵CD是圓O的直徑，

∴∠CED=90°．

∵OC=OE，

∴∠1=∠2．

又∵∠PED=∠C，即∠PED=∠1，

∴∠PED=∠2，

∴∠PED+∠OED=∠2+∠OED=90°，即∠OEP=90°，

∴OE⊥EP，

又∵點(diǎn)E在圓上，

∴PE是⊙O的切線；

（2）證明：∵AB、CD為⊙O的直徑，

∴∠AEB=∠CED=90°，

∴∠3=∠4（同角的余角相等）．

又∵∠PED=∠1，

∴∠PED=∠4，

即ED平分∠BEP；

（3）解：設(shè)EF=x，則CF=2x，

∵⊙O的半徑為5，

∴OF=2x﹣5，

在RT△OEF中，OE²=OF²+EF²，即5²=x²+（2x﹣5）²，

解得x=4，

∴EF=4，

∴BE=2EF=8，CF=2EF=8，

∴DF=CD﹣CF=10﹣8=2，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠AEB=90°，

∵AB=10，BE=8，

∴AE=6，

∵∠BEP=∠A，∠EFP=∠AEB=90°，

∴△AEB∽△EFP，

∴=，即=，

∴PF=，

∴PD=PF﹣DF=﹣2=．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．