Question

四邊形四條邊長分別為a，b，c，d，它們滿足等式a⁴+b⁴+c⁴+d⁴=4abcd，試判斷四邊形的形狀．

Answer 1

解：由已知可得
a⁴+b⁴+c⁴+d⁴-4abcd=0，
所以（a⁴-2a²b²+b⁴）+（c⁴-2c²d²+d⁴）+（2a²b²-4abcd+2c²d²）=0，
即（a²-b²）²+（c²-d²）²+2（ab-cd）²=0．
因?yàn)閍，b，c，d都是實(shí)數(shù)，
所以（a²-b²）²≥0，（c²-d²）²≥0，（ab-cd）²≥0，
所
由于a，b，c，d都為正數(shù)，所以，解①，②，③有
a=b=c=d．
故此四邊形為菱形．
分析：觀察a⁴+b⁴+c⁴+d⁴=4abcd，運(yùn)用完全平方式轉(zhuǎn)化為（a²-b²）²+（c²-d²）²+2（ab-cd）²=0．運(yùn)用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，偶次方大于等于0．因此可解得a、b、c、d間的數(shù)值關(guān)系．因此可知四邊形的形狀．
點(diǎn)評：本題考查因式分解的應(yīng)用、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、菱形的判定．解決本題的關(guān)鍵是將等式轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)平方和的形式，令其每項(xiàng)均大于等于0，解出a、b、c、d數(shù)值關(guān)系．