Question

【題目】如圖，在長(zhǎng)方形中，=4， =8，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，，則下列結(jié)論：① ；②當(dāng)時(shí)，平分 ； ③△周長(zhǎng)的最小值為15 ；④當(dāng)時(shí)，平分.其中正確的個(gè)數(shù)有（ ）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據(jù)，可設(shè)BE=x，則AE=8-x，利用Rt△ABE中勾股定理即可求出BE；當(dāng)時(shí)，四邊形APCE為菱形，故可得到平分 ；作C點(diǎn)關(guān)于直線AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C’，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性即可求出△周長(zhǎng)的最小值；過(guò)點(diǎn)A作AH⊥PE，PG⊥BC，根據(jù)求得DP、GC的長(zhǎng)，再得到EG,故可求出BP的長(zhǎng)，根據(jù)等面積法得到AH的長(zhǎng)，由AH=AB即可證明平分.

∵，設(shè)BE=x，則AE=8-x，

在Rt△ABE中AE2=AB2+BE2,

即（8-x）2=42+x2,

解得x=3，故① 正確；

當(dāng)時(shí)，∵EC=5

∴AP∥EC,AP=CE，

∴四邊形APCE為平行四邊形。

又AE=EC，

∴四邊形APCE為菱形，

故可得到平分 ，②正確；

作C點(diǎn)關(guān)于直線AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C’，則PC=PC’

∴△周長(zhǎng)的最小值為EC+EC’=5+，故③錯(cuò)誤；

過(guò)點(diǎn)A作AH⊥PE，PG⊥BC，

∴AB=PG=4

∵

∴PD==GC

∴EG=5-=

故EP==

又S△AEP=AP×PG=EP×AH

即××4=××AH

∴AH=4=AB，

∴平分，④正確；

故選B.