【題目】解答題
(1)問題背景
如圖①,BC是⊙O的直徑,點A在⊙O上,AB=AC,P為BmC上一動點(不與B,C重合),求證: PA=PB+PC.

小明同學(xué)觀察到圖中自點A出發(fā)有三條線段AB,AP,AC,且AB=AC,這就為旋轉(zhuǎn)作了鋪墊.于是,小明同學(xué)有如下思考過程:
第一步:將△PAC繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90°至△QAB(如圖①);
第二步:證明Q,B,P三點共線,進(jìn)而原題得證.
請你根據(jù)小明同學(xué)的思考過程完成證明過程.
(2)類比遷移
如圖②,⊙O的半徑為3,點A,B在⊙O上,C為⊙O內(nèi)一點,AB=AC,AB⊥AC,垂足為A,求OC的最小值.

(3)拓展延伸
如圖③,⊙O的半徑為3,點A,B在⊙O上,C為⊙O內(nèi)一點,AB= AC,AB⊥AC,垂足為A,則OC的最小值為

【答案】
(1)

證明:將△PAC繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90°至△QAB(如圖①);

∵BC是直徑,

∴∠BAC=90°,

∵AB=AC,

∴∠ACB=∠ABC=45°,

由旋轉(zhuǎn)可得∠QBA=∠PCA,∠ACB=∠APB=45°,PC=QB,

∵∠PCA+∠PBA=180°,

∴∠QBA+∠PBA=180°,

∴Q,B,P三點共線,

∴∠QAB+∠BAP=∠BAP+∠PAC=90°,

∴QP2=AP2+AQ2=2AP2

∴QP= AP=QB+BP=PC+PB,

AP=PC+PB


(2)

解:如圖②中,連接OA,將△OAC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°至△QAB,連接OB,OQ,

∵AB⊥AC

∴∠BAC=90°

由旋轉(zhuǎn)可得 QB=OC,AQ=OA,∠QAB=∠OAC

∴∠QAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90°

∴在Rt△OAQ中,OQ=3 ,AO=3

∴在△OQB中,BQ≥OQ﹣OB=3 ﹣3

即OC最小值是3 ﹣3


(3)
【解析】(3)如圖③中,作AQ⊥OA,使得AQ= OA,連接OQ,BQ,OB.

∵∠QAO=∠BAC=90°,
∠QAB=∠OAC,
= = ,
∴△QAB∽OAC,
∴BQ= OC,
當(dāng)BQ最小時,OC最小,
易知OA=3,AQ=4,OQ=5,BQ≥OQ﹣OB,
∴BQ≥2,
∴BQ的最小值為2,
∴OC的最小值為 ×2=
故答案為
(1)將△PAC繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90°至△QAB(如圖①),只要證明△APQ是等腰直角三角形即可解決問題;(2)如圖②中,連接OA,將△OAC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°至△QAB,連接OB,OQ,在△BOQ中,利用三邊關(guān)系定理即可解決問題;(3)如圖③構(gòu)造相似三角形即可解決問題.作AQ⊥OA,使得AQ= OA,連接OQ,BQ,OB.由△QAB∽OAC,推出BQ= OC,當(dāng)BQ最小時,OC最。

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