Question

【題目】我們知道，平面內互相垂直且有公共原點的兩條數軸構成平面直角坐標系，如果兩條數軸不垂直，而是相交成任意的角ω（0°＜ω＜180°且ω≠90°），那么這兩條數軸構成的是平面斜坐標系，兩條數軸稱為斜坐標系的坐標軸，公共原點稱為斜坐標系的原點，如圖1，經過平面內一點P作坐標軸的平行線PM和PN，分別交x軸和y軸于點M，N．點M、N在x軸和y軸上所對應的數分別叫做P點的x坐標和y坐標，有序實數對（x，y）稱為點P的斜坐標，記為P（x，y）．

（1）如圖2，ω＝45°，矩形OABC中的一邊OA在x軸上，BC與y軸交于點D，OA＝2，OC＝l．

①點A、B、C在此斜坐標系內的坐標分別為A　 　，B　 　，C　 　．

②設點P（x，y）在經過O、B兩點的直線上，則y與x之間滿足的關系為　 　．

③設點Q（x，y）在經過A、D兩點的直線上，則y與x之間滿足的關系為　 　．

（2）若ω＝120°，O為坐標原點．

①如圖3，圓M與y軸相切原點O，被x軸截得的弦長OA＝4 ，求圓M的半徑及圓心M的斜坐標．

②如圖4，圓M的圓心斜坐標為M（2，2），若圓上恰有兩個點到y軸的距離為1，則圓M的半徑r的取值范圍是　 　．

Answer 1

【答案】（1）①（2，0），（1，），（﹣1，）；②y=x；③ y=x，y=﹣x+；（2）①半徑為4，M（，）；②﹣1＜r＜+1．

【解析】

（1）①如圖2-1中，作BE∥OD交OA于E，CF∥OD交x軸于F．求出OE、OF、CF、OD、BE即可解決問題；②如圖2-2中，作BE∥OD交OA于E，作PM∥OD交OA于M．利用平行線分線段成比例定理即可解決問題；③如圖3-3中，作QM∥OA交OD于M．利用平行線分線段成比例定理即可解決問題；

（2）①如圖3中，作MF⊥OA于F，作MN∥y軸交OA于N．解直角三角形即可解決問題；②如圖4中，連接OM，作MK∥x軸交y軸于K，作MN⊥OK于N交⊙M于E、F．求出FN=NE=1時，⊙M的半徑即可解決問題.

（1）①如圖2﹣1中，作BE∥OD交OA于E，CF∥OD交x軸于F，

由題意OC=CD=1，OA=BC=2，

∴BD=OE=1，OD=CF=BE=，

∴A（2，0），B（1，），C（﹣1，），

故答案為（2，0），（1，），（﹣1，）；

②如圖2﹣2中，作BE∥OD交OA于E，作PM∥OD交OA于M，

∵OD∥BE，OD∥PM，

∴BE∥PM，

∴=，

∴，

∴y=x；

③如圖2﹣3中，作QM∥OA交OD于M，

則有，

∴，

∴y=﹣x+，

故答案為y=x，y=﹣x+；

（2）①如圖3中，作MF⊥OA于F，作MN∥y軸交OA于N，

∵ω=120°，OM⊥y軸，

∴∠MOA=30°，

∵MF⊥OA，OA=4，

∴OF=FA=2，

∴FM=2，OM=2FM=4，

∵MN∥y軸，

∴MN⊥OM，

∴MN=，ON=2MN=，

∴M（，）；

②如圖4中，連接OM，作MK∥x軸交y軸于K，作MN⊥OK于N交⊙M于E、F．

∵MK∥x軸，ω=120°，

∴∠MKO=60°，

∵MK=OK=2，

∴△MKO是等邊三角形，

∴MN=，

當FN=1時，MF=﹣1，

當EN=1時，ME=+1，

觀察圖象可知當⊙M的半徑r的取值范圍為﹣1＜r＜+1．

故答案為：﹣1＜r＜+1．