Question

如圖，已知線段AC∥y軸，點B在第一象限，且AO平分∠BAC，AB交y軸與G，連OB、OC．
（1）判斷△AOG的形狀，并予以證明；
（2）若點B、C關于y軸對稱，求證：AO⊥BO．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,坐標與圖形性質,軸對稱的性質

專題：

分析：（1）易證∠CAO=∠AOG和∠CAO=∠GAO，即可判定△AOG是等腰三角形；
（2）連接BC交y軸于K，過A作AN⊥y軸于N，易證△ANG≌△BKG，即可證明∠BOG=∠OBG，∠OAG=∠AOG，根據三角形內角和為180°性質即可解題．

解答：解：（1）等腰三角形；
證明：∵AC∥y軸，
∴∠CAO=∠AOG，
∵AO平分∠BAC，
∴∠CAO=∠GAO，
∴∠GAO=∠AOG，
∴AG=GO，
∴△AOG是等腰三角形；
（2）連接BC交y軸于K，過A作AN⊥y軸于N，

∵AC∥y軸，點B、C關于y軸對稱，
∴AN=CK=BK，
在△ANG和△BKG中，

∠AGN=∠BGK ∠ANG=∠BKG AN=BK

，
∴△ANG≌△BKG，（AAS）
∴AG=BG，
∵AG=OG，（1）中已證，
∴AG=OG=BG，
∴∠BOG=∠OBG，∠OAG=∠AOG，
∵∠OAG+∠AOG+∠BOG+∠OBG=180°，
∴∠AOG+∠BOG=90°，
∴AO⊥BO．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊、對應角相等的性質，本題中求證△ANG≌△BKG是解題的關鍵．