Question

如圖，拋物線y=-

1

3

x²+

2

3

mx+n（其中m，n為常數(shù)且m＞n）與y軸正半軸交于A點(diǎn)，它的對稱軸交x軸正半軸于C點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為P，Rt△ABC的直角頂點(diǎn)B在對稱軸上，當(dāng)它繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△A′B′C．
（1）寫出點(diǎn)A，P，A′的坐標(biāo)（用含m，n的式子表示）；
（2）若直線BB'交y軸于E點(diǎn)，求證：線段B′E與AA′互相平分；
（3）若點(diǎn)A′在拋物線上且Rt△ABC的面積為1時，請求出拋物線的解析式并判斷在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)D，使△AA′D為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的D點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的解析式易得出A點(diǎn)和P點(diǎn)的坐標(biāo)．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可看得出AB=A′B′，BC=B′C，因此A′的橫坐標(biāo)為P點(diǎn)的橫坐標(biāo)與A點(diǎn)橫坐標(biāo)的和，而A′的縱坐標(biāo)與P點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，由此可得出A′的坐標(biāo)．
（2）在直角三角形BCB′中，BC=B′C，因此三角形BCB′是等腰直角三角形，即∠EBA=∠BB′C=45°，可得出EA=AB=A′B′，這樣就證得了四邊形AEA′B′是平行四邊形，那么根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得出所證的條件．
（3）①根據(jù)A′在拋物線上，將A′的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中可得出一個關(guān)于m，n的等量關(guān)系．已知了三角形ABC的面積為1，可得出另一個關(guān)于m、n的等量關(guān)系，聯(lián)立兩式即可求出m、n的值，也就求出了A、A′的坐標(biāo)．
②本題可分三種情況：
一：AD=A′D；二：AD=AA′；三：AA′=A′D；
可根據(jù)對稱軸方程設(shè)出D點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式來列等量關(guān)系進(jìn)而可求出D的坐標(biāo)．

解答：（1）解：令x=0，得到y(tǒng)=n，
∴A（0，n），且m＞n＞0
∵y=-

1

3

x²+

2

3

mx+n=-

1

3

（x-m）²+

1

3

m²+n，
∴P（m，

1

3

m²+n）．
根據(jù)題意得，∠ABC=∠AOC=∠OCB=90°，
∴四邊形ABCO是矩形．
∴BC=AO=B′C=n，AB=A′B′=OC=m．
∴A′點(diǎn)坐標(biāo)為（m+n，m）．

（2）證明：連接EA′，AB′．
∵BC=B′C，∠BCB′=90°，
∴∠EB′O=45°．
∵∠EOB′=90°，
∴∠OEB′=45°，
∴OB′=OE=m+n．
∵AO=n，
∴EA=m，∵A′B′=m，
∴A′B′=EA（5分）
∵∠A′B′C=90°，
∴EA∥A′B′．
∴四邊形AEA′B′是平行四邊形．
∴對角線B′E與AA′互相平分．

（3）解：∵點(diǎn)A′（m+n，m）在拋物線上，
∴m=-

1

3

（m+n）²+

2

3

（m+n）m+n．
整理得：m-n=

1

3

（m+n）（m-n）
∵m＞n，即m-n≠0．
∴m+n=3，即n=3-m．
∵

1

2

AB•BC=1，即

1

2

mn=1．
把n=3-m代入

1

2

m•n=1
得，

1

2

m（3-m）=1．
解得

m=2 n=1

或

m=1 n=2

（不合題意舍去）
∴拋物線解析式為y=-

1

3

x²+

4

3

x+1．
∴A'（3，2），A（0，1）．
結(jié)論：在拋物線的對稱軸上存在點(diǎn)D，使△AA′D為等腰三角形．
點(diǎn)D的坐標(biāo)為：D₁（2，1+

6

），D₂（2，1-

6

），D₃（2，5），D₄（2，-1），D₅（2，0）．

點(diǎn)評：本題為二次函數(shù)綜合題，考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換、平行四邊形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，能力要求較高．考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．