Question

如圖，已知∠MON=90°，線段AB長為6cm，AB兩端分別在OM、ON上滑動(dòng)，以AB為邊作正方形ABCD，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)P，連結(jié)OC．
（1）求OC的最大值；
（2）求證：無論點(diǎn)A、點(diǎn)B怎樣運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P都在∠AOB的平分線上；
（3）若OP=4

2

，求OA的長．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì),勾股定理

專題：幾何圖形問題,動(dòng)點(diǎn)型

分析：（1）當(dāng)連接OQ，CQ，當(dāng)O，C，Q三點(diǎn)共線時(shí)，OC有最大值，由正方形的性質(zhì)和勾股定理得出答案即可；
（2）作PE⊥OM、PF⊥ON，證得△PAE≌△PBF，得出PE=PF，得出結(jié)論；
（3）由（2）的結(jié)論，利用OA=OE+AE，求出AE、OE解決問題．

解答：（1）解：取AB的中點(diǎn)Q，連接OQ，CQ，當(dāng)O，C，Q三點(diǎn)共線時(shí)，
OC有最大值，最大值為：OQ+QC=

1

2

×6+

62+32

=3+3

5

，

（2）作PE⊥OM、PF⊥ON垂足分別為E、F，
∠PEA=∠PFB=90°，
∵ABCD是正方形，
∴PA=PB，
∵∠AOB=∠ABC=90°，
∴∠CBN=∠OAB，∠POC=∠PAB=45°，
∴CNB+∠POC=∠PAB+∠OAB，
即∠PAE=∠PBF，
∴△PAE≌△PBF，
∴PE=PF，
即P在角AOB的平分線上；
（3）四邊形OEPF是正方形，
OP=4

2

，OE=PE=

2

2

OP=4，AB=6，PA=3

2

AE=

PA2-PE2

=

2

，
∴OA=OE+AE=4+

2

或OA=4-

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，以及勾股定理的綜合運(yùn)用．