Question

如圖，已知∠MON=90°，線段AB長為6cm，AB兩端分別在OM、ON上滑動，以AB為邊作正方形ABCD，對角線AC、BD相交于點P，連結OC．
（1）求OC的最大值；
（2）求證：無論點A、點B怎樣運動，點P都在∠AOB的平分線上；
（3）若OP=4

2

，求OA的長．

Answer 1

考點：正方形的性質,全等三角形的判定與性質,角平分線的性質,勾股定理

專題：幾何圖形問題,動點型

分析：（1）當連接OQ，CQ，當O，C，Q三點共線時，OC有最大值，由正方形的性質和勾股定理得出答案即可；
（2）作PE⊥OM、PF⊥ON，證得△PAE≌△PBF，得出PE=PF，得出結論；
（3）由（2）的結論，利用OA=OE+AE，求出AE、OE解決問題．

解答：（1）解：取AB的中點Q，連接OQ，CQ，當O，C，Q三點共線時，
OC有最大值，最大值為：OQ+QC=

1

2

×6+

62+32

=3+3

5

，

（2）作PE⊥OM、PF⊥ON垂足分別為E、F，
∠PEA=∠PFB=90°，
∵ABCD是正方形，
∴PA=PB，
∵∠AOB=∠ABC=90°，
∴∠CBN=∠OAB，∠POC=∠PAB=45°，
∴CNB+∠POC=∠PAB+∠OAB，
即∠PAE=∠PBF，
∴△PAE≌△PBF，
∴PE=PF，
即P在角AOB的平分線上；
（3）四邊形OEPF是正方形，
OP=4

2

，OE=PE=

2

2

OP=4，AB=6，PA=3

2

AE=

PA2-PE2

=

2

，
∴OA=OE+AE=4+

2

或OA=4-

2

．

點評：此題考查正方形的性質，三角形全等的判定與性質，角平分線的性質，以及勾股定理的綜合運用．