已知關(guān)于x的方程x2-(q+p+1)x+p=0(q≥0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為α、β,且α≤β.
(1)試用含有α、β的代數(shù)式表示p、q;
(2)求證:α≤1≤β;
(3)若以α、β為坐標(biāo)的點(diǎn)M(α、β)在△ABC的三條邊上運(yùn)動(dòng),且△ABC頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1,2),B(
1
2
,1),C(1,1),問是否存在點(diǎn)M,使p+q=
5
4
?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
(1)∵α、β為方程x2-(p+q+1)x+p=0(q≥0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,
∴判別式△=(p+q+1)2-4p=(p+q-1)2+4q≥0,
且α+β=p+q+1,αβ=p,
于是p=αβ,
q=α+β-p-1=α+β-αβ-1;
(2)∵(1-a)(1-β)=1-(α+β)+αβ=-q≤0(q≥0),
又α≤β,
∴a≤1≤β;
(3)若使p+q=
5
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成立,只需α+β=p+q+1=
9
4

①當(dāng)點(diǎn)M(α,β)在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),
由B(
1
2
,1),C(1,1),
1
2
≤α≤1,β=1,
而α=
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-β=
9
4
-1=
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4
>1,
故在BC邊上存在滿足條件的點(diǎn),其坐標(biāo)為(
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4
,1)所以不符合題意舍去;
即在BC邊上不存在滿足條件的點(diǎn)
②當(dāng)點(diǎn)M(α,β)在AC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),
由A(1,2),C(1,1),
得a=1,1≤β≤2,
此時(shí)β=
9
4
-α=
9
4
-1=
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4

又因?yàn)?<
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<2,
故在AC邊上存在滿足條件的點(diǎn),其坐標(biāo)為(1,
5
4
);
③當(dāng)點(diǎn)M(α,β)在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),
由A(1,2),B(
1
2
,1),
1
2
≤α≤1,1≤β≤2,
由平面幾何知識(shí)得
1-α
1-
1
2
=
2-β
2-1
,
于是β=2α,
β=2α
α+β=
9
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解得α=
3
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,β=
3
2
,
又因?yàn)?span mathtag="math" >
1
2
3
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<1,1<
3
2
<2,
故在AB邊上存在滿足條件的點(diǎn),其坐標(biāo)為(
3
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,
3
2
).
綜上所述,當(dāng)點(diǎn)M(α,β)在△ABC的三條邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),存在點(diǎn)(1,
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)和點(diǎn)(
3
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,
3
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),使p+q=
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成立.
練習(xí)冊系列答案
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