Question

如圖，點P在y軸上，⊙P交x軸于A，B兩點，連接BP并延長交⊙P于C，過點C的直線y=2x+b交x軸于D，且⊙P的半徑為

5

，AB=4．
（1）求點B，P，C的坐標(biāo)；
（2）求證：CD是⊙P的切線；
（3）若二次函數(shù)y=-x²+（a+1）x+6的圖象經(jīng)過點B，求這個二次函數(shù)的解析式，并寫出使二次函數(shù)值小于一次函數(shù)y=2x+b值的x的取值范圍．

Answer 1

（1）如圖，連接CA．
∵OP⊥AB，
∴OB=OA=2．（1分）
∵OP²+BO²=BP²
∴OP²=5-4=1，OP=1．（2分）
∵BC是⊙P的直徑，
∴∠CAB=90°．（也可用勾股定理求得下面的結(jié)論）
∵CP=BP，OB=OA，
∴AC=2OP=2．（3分）
∴B（2，0），P（0，1），C（-2，2）．（寫錯一個不扣分）（4分）

（2）證明：∵y=2x+b過C點，
∴b=6∴y=2x+6．（5分）
∵當(dāng)y=0時，x=-3，
∴D（-3，0）．
∴AD=1．（6分）
∵OB=AC=2，AD=OP=1，∠CAD=∠POB=90°，
∴△DAC≌△POB．
∴∠DCA=∠ABC．
∵∠ACB+∠CBA=90°，
∴∠DCA+∠ACB=90°．（也可用勾股定理逆定理證明）（7分）
∴DC是⊙P的切線．（8分）

（3）∵y=-x²+（a+1）x+6過B（2，0）點，
∴0=-2²+（a+1）×2+6．
∴a=-2．（9分）
∴y=-x²-x+6．（10分）
因為函數(shù)y=-x²-x+6與y=2x+6的圖象交點是（0，6）和點D（-3，0）（畫圖可得此結(jié)論）（11分）
所以滿足條件的x的取值范圍是x＜-3或x＞0．（12分）