Question

如圖，一個(gè)圓形街心花園，有三個(gè)出口A、B、C，每?jī)蓚�(gè)出口之間有一條長(zhǎng)60米的道路，組成正三角形ABC，在中心O處有一個(gè)亭子．為使亭子與原有的道路相通，需修三條小路OD、OE、OF，使另一出口D、E、F分別落在三角形的三邊上，且這三條小道把三角形分成三個(gè)全等的多邊形，以備種植不同的花草，
（1）請(qǐng)你按以上要求設(shè)計(jì)兩種不同的方案．將你的設(shè)計(jì)方案分別畫在圖（a）、圖（b）上，并附簡(jiǎn)單的說明；
（2）要使三條小道把三角形分成三個(gè)全等的等腰梯形，應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)？把方案畫在圖（c）上，并簡(jiǎn)單說明畫法（不需證明）；
（3）請(qǐng)你探究出一種一般方法，使得D不論在什么位置，都能準(zhǔn)確找到另外兩個(gè)出口E、F的位置，請(qǐng)寫明這個(gè)畫法．用圖（d）表示出來．
（4）你在上圖中探索出的一般方法是否適用于正方形？請(qǐng)結(jié)合圖（e）予以說明；這種方法可以推廣到正n邊形嗎？

Answer 1

解：（1）過點(diǎn)O作三邊的高，垂足分別為D，E，F(xiàn)；

（2）過點(diǎn)O分別作OE∥AB交BC于E；OD∥AC交于D；OF∥BC交AC于F，則點(diǎn)D，E，F(xiàn)為所求；

（3）在AB上任取一點(diǎn)D（不與點(diǎn)A點(diǎn)B重合），再在BC上取E，AC上取F，使BE=CF=AD；

（4）仍適用于正方形．只要使AE=BF=CG=DH即可；這種方法可以推廣到正n邊形也成立．
分析：（1）根據(jù)正三角形的性質(zhì)可以得出作三角形的內(nèi)心或外心都可以，即可得出作法；
（2）過點(diǎn)O分別作OE∥AB交BC于E；OD∥AC交于D；OF∥BC交AC于F，則點(diǎn)D，E，F(xiàn)為所求；
（3）在AB上任取一點(diǎn)D（不與點(diǎn)A點(diǎn)B重合），再在BE上取E，AC上取F，使BE=CF=AD；
（4）只要使AE=BF=CG=DH即可．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了正三角形內(nèi)外心的作法以及等腰梯形作法和利用圖形設(shè)計(jì)解決實(shí)際問題等知識(shí)，注意題目的擴(kuò)展結(jié)合已知可以延伸得出．