Question

如圖，等邊△ABC中，點(diǎn)E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，P為BC上一點(diǎn)，連接EP，作等邊△EPQ，連接FQ，EF．
（1）若等邊△ABC的邊長(zhǎng)為20，且∠BPE=45°，求等邊△EPQ的邊長(zhǎng)；
（2）求證：BP=EF+FQ．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）利用等邊三角形的性質(zhì)得出BE=

1

2

AB=10，進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出EM，EP的長(zhǎng)，即可得出答案；
（2）首先得出△EBN是等邊三角形，進(jìn)而得出△ENP≌△EFQ（SAS），則NP=FQ，求出BP=BN+NP=EF+FQ即可．

解答：（1）解：過(guò)點(diǎn)E作EM⊥BC于M
∵等邊△ABC，
∴∠B=60°，
∵E為AB的中點(diǎn)，
∴BE=

1

2

AB=10，
在Rt△BEM中，sinB=

EM

BE

，
∴

3

2

=

EM

10

，
∴EM=5

3

，
在Rt△EMP中，sin∠EPM=

EM

EP

，
∴

2

2

=

5 3

EP

，
∴EP=5

6

，
即等邊△EPQ的邊長(zhǎng)為5

6

；

（2）證明：取BC的中點(diǎn)N，連接NE，
∵等邊△ABC，
∴AB=BC，
∵E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AC的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，
∴EF=

1

2

BC，BE=

1

2

AB，BN=

1

2

BC，EF∥BC，
∴EF=BE=BN，
∵∠B=60°，
∴△EBN是等邊三角形，
∴EN=BN=EF，∠ENB=60°，
∵EF∥BC，
∴∠FEN=60°，
∴∠1+∠2=60°，
∵等邊△EPQ，
∴EP=EQ，∠PEQ=60°，
∴∠2+∠3=60°，
∴∠1=∠3，
在△ENP和△EFQ中，

EN=EF ∠1=∠3 EP=EQ

，
∴△ENP≌△EFQ（SAS），
∴NP=FQ，
∴BP=BN+NP=EF+FQ．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系，根據(jù)已知取BC的中點(diǎn)N，連接NE，進(jìn)而得出△ENP≌△EFQ是解題關(guān)鍵．