Question

如圖△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，AD、BE是高．
（1）求AD，BE的長(zhǎng)；
（2）點(diǎn)P是高AD的一動(dòng)點(diǎn)，將線段CP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使旋轉(zhuǎn)角等于∠ABC，得到線段CF．
①線段AC上有一點(diǎn)M，使△CPM≌△CFD，求CM的長(zhǎng)；
②當(dāng)DF最短時(shí)，求AP的長(zhǎng)；
③動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，以5cm/s的速度在邊AD上向點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)P后，再以3cm/s速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，直接寫出點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BD=CD=

1

2

BC，利用勾股定理列式求出AD，再利用△ABC的面積列出方程求解即可得到BE；
（2）①根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CM=CD；
②根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DF=PM，再根據(jù)垂線段最短可得PM⊥AD時(shí)PM最短，求出AM，再根據(jù)∠CAD的余弦列式計(jì)算即可求出AP；
③過(guò)點(diǎn)P作PN⊥AC于N，求出PN=

3

5

AP，然后判斷出相當(dāng)于點(diǎn)Q以3cm/s的速度從點(diǎn)N出發(fā)經(jīng)點(diǎn)P到點(diǎn)B，再根據(jù)垂線段最短可知當(dāng)BN⊥AC時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最小，然后根據(jù)時(shí)間=路程÷速度列式計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）∵AB=AC，AD是高，
∴BD=CD=

1

2

BC=

1

2

×12=6cm，
由勾股定理得，AD=

AB2-BD2

=

102-62

=8cm，
S_△ABC=

1

2

AC•BE=

1

2

BC•AD，
所以，

1

2

×10•BE=

1

2

×12•8，
解得BE=

48

5

cm；

（2）①∵△CPM≌△CFD，
∴CM=CD=6cm；
②∵△CPM≌△CFD，
∴DF=PM，
∴DF最短，即PM最短，當(dāng)PM⊥AD時(shí)DF最短，
此時(shí)AM=AC-CM=10-6=4cm，
AP=AM•cos∠CAD=4×

8

10

=

16

5

cm；
③過(guò)點(diǎn)P作PN⊥AC于N，則PN=AP•sin∠CAD=

3

5

AP，
∵點(diǎn)Q從點(diǎn)A到點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度是5cm/s，從點(diǎn)P到點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)速度是3cm/s，
∴相當(dāng)于點(diǎn)Q以3cm/s的速度從點(diǎn)N出發(fā)經(jīng)點(diǎn)P到點(diǎn)B，
由垂線段最短，當(dāng)BN⊥AC時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最小，
此時(shí)，BN、BE重合，t=

48

5

÷3=

16

5

秒．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，垂線段最短，難點(diǎn)在于（2）考慮利用垂線段最短解答．