Question

如圖，以銳角△ABC的邊AB為直徑作半圓⊙O交邊BC、CA于點E、F．過點E、F分別作⊙O的切線得交點P．求證：CP⊥AB．

Answer 1

分析：連接AE、BF得交點Q，AB為半圓的直徑，可證點Q為垂心，得CQ⊥AB①，延長FP到點K，使PK=PF，連接EF、KE，利用角的關(guān)系證明K、F、Q、E四點共圓，證明P為圓心，從而有PQ=PF，再證A、H、Q、F四點共圓，得出∠PHA=∠AFB=90°，可證C、P、Q三點共線，證明結(jié)論．

解答：證明：如圖，連接AE、BF得交點Q，
∵∠AEB=∠AFB=90°，
∴點Q為△ABC的垂心，
∴CQ⊥AB．①
延長FP到點K，使PK=PF，連接EF、KE．易知∠PEF=∠PFE=∠EAF．
連接PQ并延長交AB于點H，
∵∠EQF=180°-∠AQF=180°-（90°-∠EAF）=90°+∠EAF=90°+∠PEF，
∠K=

1

2

∠EPF=

1

2

（180°-2∠PEF）=90°-∠PEF，
∴∠EQF+∠K=180°．
故K、F、Q、E四點共圓，
∵PK=PE=PF，
∴P必是該圓的圓心．
∴PQ=PF．
∴∠PQF=∠PFQ=∠PFB=∠FAB=∠FAH，
∴A、H、Q、F四點共圓．
則∠PHA=∠QHA=180°-∠QFA=90°，
∴PH⊥AB，即PQ⊥AB．②
由①、②知，C、P、Q三點共線，
∴CP⊥AB．

點評：本題考查了四點共圓的判定與性質(zhì)．關(guān)鍵是明確三角形兩邊上高的交點為垂心，同時考查了三點共線的方法．