Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=kx+2與x軸交于點A，與y軸交于點B，與拋物線y=ax²+bx交于點C、D．已知點C的坐標為（2，1），點D的橫坐標為．
（1）求點D的坐標；
（2）求拋物線的函數(shù)表達式；
（3）拋物線在x軸上方部分是否存在一點P，使△POA的面積比△POB的面積大4？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，說明理由．
（4）將題中的拋物線y=ax²+bx沿x軸平移，當拋物線經(jīng)過點B時，請直接寫出平移的方向和距離．

Answer 1

解：（1）將點C坐標代入y=kx+2得：
1=2k+2
解得k=-
則y=-x+2
當x=時，y=
故D（，）；

（2）將點C、D坐標代入y=ax²+bx得：
，
解得：
故y=-2x²+；

（3）∵y=-x+2當y=0時x=4，當x=0時y=2
∴A（4，0），B（0，2）
∴OA=4，OB=2
設P（m，-2m²+）
則S△POA=×4×（-2m²+）=-4m²+9m
S△POB=×2×m=m
當-4m²+9m=m+4時，解得m=1
∴-2m²+=
∴存在點P（1，）；

（4）將y=-2x²+向左平移個單位后，經(jīng)過點B．
分析：（1）首先將點C的坐標代入y=kx+2后求得直線的解析式，然后即可求得點D的坐標；
（2）將點C和點D的坐標代入的二次函數(shù)的解析式的一般形式后即可利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式；
（3）假設存在，設出點P的坐標后分別表示出兩個三角形的面積后列出方程求解即可；
（4）根據(jù)點B的縱坐標為2，所以令y=-2x²+=2即可確定平移的距離；
點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識，特別是存在性問題，更是近幾年中考的高頻考點，需要加強訓練．