Question

觀察下面的變形規(guī)律：

1

1×2

=1-

1

2

；

1

2×3

=

1

2

-

1

3

；

1

3×4

=

1

3

-

1

4

…
解答下面的問題：
（1）若n為正整數(shù)，請你猜想

1

n(n+1)

=

 

；
（2）證明你猜想的結(jié)論；
（3）求和：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2013×2014

．

Answer 1

考點(diǎn)：分式的加減法

專題：規(guī)律型

分析：（1）歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，即可得到結(jié)果；
（2）利用分式的加減法則計(jì)算即可得到結(jié)果；
（3）原式利用拆項(xiàng)方法變形，抵消即可得到結(jié)果．

解答：（1）解：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；

（2）證明：

1

n

-

1

n+1

=

n+1

n(n+1)

-

n

n(n+1)

=

n+1-n

n(n+1)

=

1

n(n+1)

；

（3）解：原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2013

-

1

2014

=1-

1

2014

=

2013

2014

．
故答案為：（1）

1

n

-

1

n+1

．

點(diǎn)評：此題考查了分式的加減法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．