【題目】如圖①,矩形ABCD中,AB=4,BC=m(m>1),點E是AD邊上一定點,且AE=1.
(1)當(dāng)m=3時,AB上存在點F,使△AEF與△BCF相似,求AF的長度.
(2)如圖②,當(dāng)m=3.5時.用直尺和圓規(guī)在AB上作出所有使△AEF與△BCF相似的點F.(不寫作法,保留作圖痕跡)
(3)對于每一個確定的m的值,AB上存在幾個點F,使得△AEF與△BCF相似?
【答案】(1)AF=1或3;(2)見解析;(3)當(dāng)1<m<4且m≠3時,有3個;
當(dāng)m=3時,有2個;當(dāng)m=4時,有2個; 當(dāng)m>4時,有1個.
【解析】試題分析:
(1)由題意可知,∠A=∠B=90°,由此可知要使△AEF與△BCF相似,存在兩種情況:①當(dāng)∠AEF=∠BFC時,若,則兩三角形相似;②當(dāng)∠AEF=∠BCF時, 若,則兩三角形相似;由這兩種情況分別根據(jù)已知條件進行計算即可得到相應(yīng)的AF的值;
(2)如下圖所示:①延長DA到E′,使AE′=AE,連接CE′交AB于點F1;②連接CE,以CE為直徑作圓,分別交AB于點F2、F3;則F1、F2、F3為所求點;
(3)結(jié)合(1)(2)可知,當(dāng)m=3時,符合條件的點F有2個,當(dāng)m=4時,符合條件的點F也有2個,而當(dāng)1<m<4,且 m≠3時,符合條件的點F有3個;而當(dāng)m>4時,以CE為直徑的圓和AB相離,此時符合條件的點F只有1個.
試題解析:
(1)①當(dāng)∠AEF=∠BFC時,
要使△AEF∽△BFC,需,即,
解得AF=1或3;
②當(dāng)∠AEF=∠BCF時,
要使△AEF∽△BCF,需=,即,
解得AF=1;
綜上所述AF=1或3
(2)如下圖所示,圖中F1、F2、F3為所求點;
(提示:延長DA,作點E關(guān)于AB的對稱點E′,連結(jié)CE′,交AB于點F1;連結(jié)CE,以CE為直徑作圓交AB于點F2、F3);
(3)如(2)中所作圖形,
當(dāng)m=4時,由已知條件可得DE=3,則CE=5,即圖中圓的直徑為5,由梯形中位線定理可得此時圖中所作圓的圓心到AB的距離=2.5=所作圓的半徑,F(xiàn)2和F3重合,即當(dāng)m=4時,符合條件的F有2個;
當(dāng)m>4時,圖中所作圓和AB相離,此時F2和F3不存在了,即此時符合條件的F只有F11個;
而當(dāng)1<m<4且m≠3時,由所作圖形可知,符合條件的F有3個;
綜上所述:可得:①當(dāng)1<m<4且m≠3時,符合條件的F有3個; ②當(dāng)m=3時,符合條件的F有2個;③當(dāng)m=4時,符合條件的F有2個;④當(dāng)m>4時,符合條件的F有1個.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠B=90°,點O時∠CAB、∠ACB平分線的交點,且BC=8 cm,AB=6 cm,AC=10 m,則點O到邊AB的距離為( )
A.1 cmB.2 cmC.3 cmD.4 cm
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【題目】如果方程的兩個根是,,那么,.請根據(jù)以上結(jié)論,解決下列問題:
已知關(guān)于的方程,求出一個一元二次方程,使它的兩根別是已知方程兩根的倒數(shù);
已知、滿足,,求的值;
已知、、均為實數(shù),且,,求正數(shù)的最小值.
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【題目】在平面直角坐標系中,點A的坐標是(1,3),將點A繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點A′,則點A′的坐標是( )
A. (-3,1) B. (3,-1) C. (-1,3) D. (1,-3)
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【題目】如圖,在半徑為3的⊙O中,AB是直徑,AC是弦,且AC=4.過點O作直徑DE⊥AC,垂足為點P,過點B的直線交AC的延長線和DE的延長線于點F、G.
(1)求線段AP、CB的長;
(2)若OG=9,求證:FG是⊙O的切線.
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【題目】如圖,正八邊形ABCDEFGH的邊長為a,I、J、K、L分別是各自所在邊的中點,且四邊形IJKL是正方形,則正方形IJKL的邊長為________(用含a的代數(shù)式表示).
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【題目】超市水果貨架上有四個蘋果,重量分別是100 g、110 g、120 g和125 g.
(1)小明媽媽從貨架上隨機取下一個蘋果.恰是最重的蘋果的概率是 ;
(2)小明媽媽從貨架上隨機取下兩個蘋果.它們總重量超過232 g的概率是多少?
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【題目】如圖,一次函數(shù)y=-x+8的圖像與x軸、y軸分別交于A、B兩點.P是x軸上一個動點,若沿BP將△OBP翻折,點O恰好落在直線AB上的點C處,則點P的坐標是______.
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【題目】如圖,直線過軸上的點,且與拋物線相交于、兩點,點坐標為.
求直線和拋物線所表示的函數(shù)表達式;
在拋物線上是否存在一點,使得?若不存在,說明理由;若存在,請求出點的坐標,與同伴交流.
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