Question

（1999•煙臺(tái)）如圖，△ABC是等邊三角形，⊙O與BC相切于點(diǎn)C，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，交△ABC的外接圓于點(diǎn)K，直線AK交⊙O于點(diǎn)E，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求∠EDC的度數(shù)；
（2）如果A是EF的中點(diǎn)，請(qǐng)判斷K是否是的中點(diǎn)，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）此題要通過(guò)構(gòu)造相等的圓周角來(lái)求解；連接KC，在小圓中，由圓周角定理知∠AKC=∠ABC=60°，在⊙O中，∠AKC=∠EDC=60°，由此得解．
（2）若K是弧AB的中點(diǎn)，需要證得∠ACK=∠BCK=30°，連接CE；由于FC切⊙O于C，則∠FCD=∠CED=60°，那么△CDE也是等邊三角形，那么∠DCE=∠BAC=60°，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行，可證得AB∥CE，而A是EF的中點(diǎn)，則B是FC的中點(diǎn)，即FB=BC=AB，由此可得∠F=∠BAF=∠ABC=30°，那么∠BCD=∠BAF=30°，即可得解．
解答：解：（1）連接KC；（1分）
∵∠AKC=∠ABC，∠AKC=∠EDC，
∴∠ABC=∠EDC；（3分）
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠EDC=60°．（4分）

（2）連接CE，（1分）
∵FC切⊙O于C，
∴∠ACF=∠DEC；
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACF=∠BAC=60°，AB=BC，
∴∠DEC=60°，
∴∠DCE=60°，
∴∠DCE=∠BAC，
∴AB∥CE；（4分）
∵FA=AE，
∴FB=BC．（5分）
∴AB=FB，
∴∠F=∠FAB=∠ABC=30°；（7分）
∵∠ACB=60°，
∴∠ACK=∠BCK=30°，
∴K是的中點(diǎn)．（9分）
點(diǎn)評(píng)：考查了等邊三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用．此題是一個(gè)大綜合題，難度較大．