Question

如圖，以1為半徑的⊙O₁與以2為半徑的⊙O₂內(nèi)切于點(diǎn)A，直線O₁O₂過點(diǎn)A，且交⊙O₂于另一點(diǎn)B，⊙O₂的弦PQ⊥O₁O₂，交O₁O₂于點(diǎn)K，且PK=

1

2

O2K，PC∥O₁O₂，QD∥O₁O₂，PC、QD分別交過點(diǎn)O₂的⊙O₁的切線于點(diǎn)C、D．
（1）求圓心距O₁O₂；
（2）求四邊形PCDQ的邊長；
（3）若一動點(diǎn)H由點(diǎn)Q出發(fā)，沿四邊形的邊QP、PC、CD移動到點(diǎn)D，設(shè)動點(diǎn)H移動的路程為x，△DQH的面積為y，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，可知兩圓內(nèi)切，則圓心距等于兩圓半徑之差；
（2）首先可以證明該四邊形是正方形，設(shè)正方形PCDQ的邊長為x．連接O₂P，根據(jù)勾股定理列方程求解；
（3）根據(jù)運(yùn)動的路徑，顯然需要考慮三種情況：H點(diǎn)在QP邊上移動時，即0≤x＜

4

5

5

；H點(diǎn)在PC邊上移動時，即

4

5

5

≤x＜

8

5

5

；H點(diǎn)在CD邊上移動時，即

8

5

5

≤x＜

12

5

5

．
根據(jù)三角形的面積公式分別找到三角形的底邊及其邊上的高進(jìn)行計算．

解答：解：（1）O₁O₂=2-1=1．

（2）∵CD切⊙O₁于O₂，
∴CD⊥O₁O₂，
又PQ⊥O₁O₂，
∴CD∥PQ．
∵PC∥O₁O₂，QD∥O₁O₂，
∴PC∥QD，PC⊥QP．
∵PK=

1

2

O2K=

1

2

PC=

1

2

PQ，
∴PC=PQ．
故四邊形PCDQ是正方形．
設(shè)正方形PCDQ的邊長為x，
則PK=

1

2

x，O₂K=x，
由O₂P²=O₂K²+PK²，得
22=x2+(

x

2

)2，
解得，x=±

4

5

5

，舍去x=-

4

5

5

．
∴這個四邊形四條邊的長都是

4

5

5

．


（3）當(dāng)H點(diǎn)在QP邊上移動時，則QH=x；
∴y=

1

2

•(

4

5

5

)x=

2

5

5

x（0≤x＜

4

5

5

）；
當(dāng)H點(diǎn)在PC邊上移動時，
∴y=

1

2

•(

4

5

5

)2=

8

5

（

4

5

5

≤x＜

8

5

5

）；
當(dāng)H點(diǎn)在CD邊上移動時，DH=3×

4

5

5

-x
∴y=

1

2

×

4

5

5

×(

12

5

5

-x)=-

2

5

5

x+

24

5

（

8

5

5

≤x＜

12

5

5

）．
綜上所述y=

2 5 5 x(0≤x＜ 4 5 5 ) 8 5 ( 4 5 5 ≤x＜ 8 5 5 - 2 5 5 x+ 24 5 ( 8 5 5 ≤x＜ 12 5 5 )

．

點(diǎn)評：熟悉相切兩圓的性質(zhì)：兩圓內(nèi)切，則圓心距等于兩圓半徑之差；兩圓外切，圓心距等于兩圓半徑之和．掌握正方形的判定方法，能夠分別畫出不同動態(tài)時一種靜態(tài)時的位置，進(jìn)行分析計算圖形的面積．