Question

如圖1，已知四邊形OABC中的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為O(0，0)，A(0，n)，C(m，0)．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)依次沿線段OA，AB，BC向點(diǎn)C移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)路程為z，△OPC的面積S隨著z的變化而變化的圖象如圖2所示．m，n是常數(shù)，m＞1，n＞0．

(1)請(qǐng)你確定n的值和點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P是經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，C的拋物線y＝ax²＋bx＋c的頂點(diǎn)，且在雙曲線y＝上時(shí)，求這時(shí)四邊形OABC的面積．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)從圖中可知，當(dāng)P從O向A運(yùn)動(dòng)時(shí)，△POC的面積S＝mz，z由0逐步增大到2，則S由0逐步增大到m，故OA＝2，n＝2　　(1分) 　　同理，AB＝1，故點(diǎn)B的坐標(biāo)是(1，2)　　(2分) 　　(2)解法一： 　　∵拋物線y＝ax＋bx＋c經(jīng)過(guò)點(diǎn)O(0，0)，C(m，0)，∴c＝0，b＝－am，(3分) 　　∴拋物線為y＝ax－amx，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(，－am2)　　(4分) 　　如圖1，設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，C，P的拋物線為l 　　當(dāng)P在OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，O，P都在y軸上，這時(shí)P，O，C三點(diǎn)不可能同在一條拋物線上， 　　∴這時(shí)拋物線l不存在，故不存在m的值　�、� 　　當(dāng)點(diǎn)P與C重合時(shí)，雙曲線y＝不可能經(jīng)過(guò)P， 　　故也不存在m的值　�、凇　�(5分) 　　(說(shuō)明：①②任做對(duì)一處評(píng)1分，兩處全對(duì)也只評(píng)一分) 　　當(dāng)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即當(dāng)0＜x≤1時(shí)，y＝2， 　　拋物線l的頂點(diǎn)為P(，2)． 　　∵P在雙曲線y＝上，可得m＝，∵＞2，與x＝≤1不合，舍去．(6分)　�、� 　　容易求得直線BC的解析式是：，(7分) 　　當(dāng)P在BC上運(yùn)動(dòng)，設(shè)P的坐標(biāo)為(x，y)，當(dāng)P是頂點(diǎn)時(shí)x＝， 　　故得y＝＝，頂點(diǎn)P為(，)， 　　∵1＜x＝＜m，∴m＞2，又∵P在雙曲線y＝上， 　　于是，×＝，化簡(jiǎn)后得5m－22m＋22＝0， 　　解得，，(8分) 　　 　　與題意2＜x＝＜m不合，舍去．④　　(9分) 　　故由①②③④，滿足條件的只有一個(gè)值：． 　　這時(shí)四邊形OABC的面積＝＝　　(10分) 　　(2)解法二： 　　∵拋物線y＝ax＋bx＋c經(jīng)過(guò)點(diǎn)O(0，0)，C(m，0) 　　∴c＝0，b＝－am，(3分) 　　∴拋物線為y＝ax－amx，頂點(diǎn)坐標(biāo)P為(，－am2)　　(4分) 　　∵m＞1，∴＞0，且≠m， 　　∴P不在邊OA上且不與C重合　　(5分) 　　∵P在雙曲線y＝上，∴×(－am2)＝即a＝－ 　　①當(dāng)1＜m≤2時(shí)，＜≤1，如圖2，分別過(guò)B，P作x軸的垂線， 　　M，N為垂足，此時(shí)點(diǎn)P在線段AB上，且縱坐標(biāo)為2， 　　∴－am2＝2，即a＝－ 　　而a＝－，∴－＝－，m＝＞2，而1＜m≤2，不合題意，舍去　　(6分) 　�、诋�(dāng)m≥2時(shí)，＞1，如圖3，分別過(guò)B，P作x軸的垂線，M，N為垂足，ON＞OM， 　　此時(shí)點(diǎn)P在線段CB上，易證Rt△BMC∽R(shí)t△PNC， 　　∴BM∶PN＝MC∶NC，即：2∶PN＝(m－1)∶，∴PN＝　　(7分) 　　而P的縱坐標(biāo)為－am2，∴＝－am2，即a＝ 　　而a＝－，∴－＝ 　　化簡(jiǎn)得：5m2－22m＋22＝0解得：m＝，(8分) 　　但m≥2，所以m＝舍去，(9分) 　　取m＝ 　　由以上，這時(shí)四邊形OABC的面積為： 　　(AB＋OC)×OA＝(1＋m)×2＝　　(10分)