Question

如圖有一角Rt∠A．
（1）用尺規(guī)作圖作出∠A的角平分線，并在該角平分線上取一點C．（保留作圖痕跡，不寫作法，不證明．）
（2）用尺規(guī)作圖作出（1）中得到的線段AC的中垂線、分別交∠A的兩邊于點B和點D．（保留作圖痕跡，不寫作法，不證明．）
（3）連接CB，CD．以AC平分∠BAD、BD垂直平分線段AC，以及Rt∠A作為已知條件，試判斷四邊形ABCD是否為正方形，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）（2）如圖所示；
（3）四邊形ABCD是正方形，
∵BD是AC的垂直平分線，
∴AB=BC，AD=CD，∠AOB=90°，
∵∠BAD=90°，AC平分∠A，
∴∠BAO=∠OAD=45°，
∴∠AB0=45°，∠OAD=45°，
∴OB=OA=OD，
∵∠AOB=90°，
∴AO垂直平分BD，
∴AB=AD，
∴AB=AD=CB=CD，
又∵∠BAD=90°，
∴四邊形ABCD是正方形．
分析：（1）以點A為圓心，以任意長為半徑畫弧，與OA、OB相交于點E、F，再以點E、F為圓心，以大于EF長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，作射線OM即可；
（2）分別以A、C為圓心，大于AC長為半徑畫弧，兩弧相交于兩點，過兩點畫直線，分別交∠BAD的兩邊于點B和點D；
（3）首先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得AB=BC，AD=CD，再證明AO垂直平分BD，可得AB=AD，進而可得到四邊形ABCD的四條邊相等，再有條件∠BAD=90°，可證出四邊形ABCD是正方形．
點評：此題主要考查了作角平分線，作線段的垂直平分線，以及正方形的判定，解決問題的關(guān)鍵是正確作出圖形，熟練運用正方形的判定定理．