Question

如圖1，⊙O′與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C、F兩點，點D是⊙O′上一點，

DC

=

AC

，A（2，0），C（0，-4）．
（1）求圓心O′的坐標；
（2）如圖2，連DC，過A作AE⊥DC于E，求AE的長；
（3）如圖3，在BC上取點M，使CM=AC，DM的延長線交⊙O′于N，求證：MN=

5

2

MD．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點A、C的坐標求出OA、OC的長，再根據(jù)相交弦定理列式計算求出OB的長，然后求出⊙O′的半徑，再求出OO′的長，最后寫出點O′的坐標即可；
（2）根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得∠D=∠ACO，利用勾股定理列式求出AC，再根據(jù)等弧所對的弦相等求出CD，然后根據(jù)△ACO和△ADE相似，利用相似三角形對應邊成比例列式用AE表示出CE，在Rt△ACE中，利用勾股定理列式計算即可得解；
（3）連接CD、BN，過點D作DP∥BC于⊙O′相交于點P，可得

PB

=

CD

=

AC

，根據(jù)等弧所對的弦相等可得AC=CD，從而得到CD=CM，再根據(jù)等邊對等角可得∠CDM=∠CMD，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠CMD=∠PDM，從而得到∠PDM=∠CDM，然后求出

PBN

=

CAN

，再求出

BN

=

AN

，即點N為半圓BNA的中點然后求出MN=BN=5

2

，再利用勾股定理列式求出BC，然后求出BM，然后利用△CDM和△NBM相似，利用相似三角形對應邊成比例列式求出DM，相比即可得證．

解答：（1）解：∵A（2，0），C（0，-4），
∴OA=2，OC=4，
∵AB⊥CF，
∴OA•OB=OC²，
即2•OB=4²=16，
解得OB=8，
∴⊙O′的直徑=2+8=10，半徑=

1

2

×10=5，
∴OO′=5-2=3，
∴點O′的坐標為（-3，0）；

（2）解：∵AB⊥CF，
∴

AC

=

AF

，
∴∠D=∠ACO，
在Rt△AOC中，由勾股定理得，AC=

22+42

=2

5

，
∵

DC

=

AC

，
∴CD=AC=2

5

，
∵AE⊥DC，
∴∠E=90°，
∴∠E=∠AOC=90°，
∴△ACO∽△ADE，
∴

OA

AE

=

OC

DE

，
即

2

AE

=

4

2 5 +CE

，
∴CE=2AE-2

5

，
在Rt△ACE中，AE²+CE²=AC²，
即AE²+（2AE-2

5

）²=2

5

²，
解得AE=0（舍去），AE=

8 5

5

；

（3）證明：如圖，連接CD、BN，過點D作DP∥BC于⊙O′相交于點P，
∵

DC

=

AC

，
∴

PB

=

CD

=

AC

，
∴AC=CD，
∵CM=AC，
∴CD=CM，
∴∠CDM=∠CMD，
∵DP∥BC，
∴∠CMD=∠PDM，
∴∠PDM=∠CDM，
∴

PBN

=

CAN

，
∵

BN

=

PBN

-

PB

，

AN

=

CAN

-

AC

，
∴

BN

=

AN

，
∴點N為半圓BNA的中點，
∴BN=5

2

，
∵∠CBN=∠CDM，∠BMN=∠CMD，
∴∠CBN=∠BMN，
∴MN=BN=5

2

，
在Rt△BOC中，BC=

OB2+OC2

=

82+42

=4

5

，
∴BM=BC-CM=4

5

-2

5

=2

5

，
∵∠CDM=∠CBN，∠CMD=∠BMN，
∴△CDM∽△NBM，
∴

DM

BM

=

CD

BN

，
即

DM

2 5

=

2 5

5 2

，
解得DM=2

2

，
∴

MN

DM

=

5 2

2 2

，
MN=

5

2

DM．

點評：本題是圓的綜合題型，主要利用了相交弦定理，勾股定理，相似三角形的判定與性質，在同圓或等圓中，等弧所對的弦相等以及平行弦所夾的互相等的性質，（2）利用AE表示CE是解題的關鍵；（3）作平行線并求出點N是半圓BNA的中點的關鍵，也是本題的難點．