Question

設(shè)m為一個小于2006的四位數(shù)，已知存在正整數(shù)n，使得m-n為質(zhì)數(shù)，且mn是一個完全平方數(shù)，求滿足條件的四位數(shù)m．

Answer 1

考點：完全平方數(shù)

專題：

分析：由m-n為質(zhì)數(shù)，推得m、n互質(zhì)，即m、n沒有公因數(shù)．那么m、n所分解出來的質(zhì)因數(shù)的冪次必然都是偶數(shù)．如果m存在奇數(shù)次冪的質(zhì)因子，除非n也有奇數(shù)個這樣的質(zhì)因子，mn 才有可能是完全平方數(shù)，而這樣勢必導(dǎo)致m，n有公因數(shù)．即m也是完全平方數(shù)．又因為mn是完全平方數(shù)，所以n也是完全平方數(shù)，由此進(jìn)一步設(shè)出m、n，根據(jù)m為一個小于2006的四位數(shù)得出答案即可．

解答：解：首先m-n是m和n的最大公約數(shù)的倍數(shù)（這句話應(yīng)該不用解釋，不理解的話就設(shè)m=ad，n=bd，d為m和n的最大公約數(shù)），那么他們的最大公約數(shù)只能是1或者一個質(zhì)數(shù)（設(shè)為p）
若最大公約數(shù)（m，n）=1 而mn為平方數(shù) 則m，n各自為平方數(shù)，
設(shè)m=a²，n=b²，m為小于2006的4位數(shù)所以31＜a＜45，
p=a²-b²=（a-b）（a+b），p為質(zhì)數(shù)，
所以a-b=1，a+b是質(zhì)數(shù)，
也就是2a-1為質(zhì)數(shù)，31＜a＜45，
所以61＜2a-1＜89，這樣的a共有34，36，37，40，42．
這是分別可以求得對應(yīng)的m值為1156，1296，1369，1600，1764共計五中可能．
若（m，n）=p 則設(shè)m'=

m

p

，n'=

n

p

，
則m'-n'=1，mn=p²m'n'也是完全平方數(shù)，所以m'n'也是完全平方數(shù)，n'²≤n'（ n'+1）=n'=m'n'＜（ n'+1）²，左邊的等號只能在n=0是取得，n不能等于0，所以m'n'不會是完全平方數(shù)．矛盾，所以（m，n）=p不成立．
綜上m可以是1156，1296，1369，1600，1764．

點評：此題主要考查完全平方數(shù)的性質(zhì)，兩數(shù)互質(zhì)的意義，以及最大公因數(shù)的求法，巧妙利用數(shù)字的屈指范圍得出解決問題的方法．