Question

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0).

(1) 求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

 (2) 若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過A、B、O三點(diǎn)，求此二次函數(shù)的解析式；

 (3) 在(2)中的二次函數(shù)圖象的OB段(不包括點(diǎn)O、B)上，是否存在一點(diǎn)C，使得四邊形ABCO的面積最大？若存在，求出這個(gè)最大值及此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

 

Answer 1

【答案】

略

【解析】(1) 在Rt△OAB中，∵∠AOB=30°，

∴ OB=. 過點(diǎn)B作BD垂直于x軸，垂足為D，則  OD=，BD=，∴ 點(diǎn)B的坐標(biāo)為() .

 (2) 將A(2,0)、B()、O(0,0)三點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c，得

解方程組，有  a=，b=，c=0.

∴ 所求二次函數(shù)解析式是 y=x2+x.

(3) 設(shè)存在點(diǎn)C(x , x2+x) (其中0<x<)，使四邊形ABCO面積最大.

∵△OAB面積為定值，

∴只要△OBC面積最大，四邊形ABCO面積就最大.

過點(diǎn)C作x軸的垂線CE，垂足為E，交OB于點(diǎn)F，則

S△OBC= S△OCF +S△BCF==，

而 |CF|=yC-yF=，

∴ S△OBC= .

∴ 當(dāng)x=時(shí)，△OBC面積最大，最大面積為.

此時(shí)，點(diǎn)C坐標(biāo)為()，四邊形ABCO的面積為