Question

【題目】如圖1，已知拋物線頂點C（1，4），且與y軸交于點D（0，3）．

（1）求該拋物線的解析式及其與x軸的交點A、B的坐標；

（2）將直線AC繞點A順時針旋轉45°后得到直線AE，與拋物線的另一個交點為E，請求出點E的坐標；

（3）如圖2，點P是該拋物線上位于第一象限的點，線段AP交BD于點M、交y軸于點N，△BMP和△DMN的面積分別為S1，S2，求S1﹣S2的最大值．

Answer 1

【答案】（1）點A、B的坐標分別為（﹣1，0）、（3，0）；（2）點E（，）；（3）S1﹣S2的最大值為．

【解析】

（1）設拋物線的表達式為：y=a（x-h）2+k=a（x-1）2+4，將點D的坐標代入上式，即可求解；
（2）構建△ACH，用解直角三角形的方法求出點H的坐標，進而求解；
（3）設S=S△ABM，則S1-S2=（S1+S）-（S+S2）=S△ABP-S△BDO，即可求解．

解：（1）設拋物線的表達式為：y＝a（x﹣h）2+k＝a（x﹣1）2+4，

將點D的坐標代入上式并解得：a＝﹣1，

故拋物線的表達式為：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3①；

令y＝0，則x＝﹣1或3，

故點A、B的坐標分別為：（﹣1，0）、（3，0）；

（2）如圖，設函數(shù)的對稱軸交x軸于點G，交AE于點H，過點H作HN⊥AC于點N，

在△AGC中，tan∠ACG＝＝tan∠HCN，

在Rt△CHN中，設HN＝x，則CN＝HNtan∠HCN＝2x，

在Rt△ANH中，∠NAH＝45°，則AN＝NH＝x，

故AC＝AN+CN＝3x＝，

故x＝，

在Rt△CHN中，CH＝，

故點H（1，），

由點A、H的坐標得，直線AH的表達式為：y＝x+②，

聯(lián)立①②并解得：x＝或﹣1（舍去﹣1），

故點E（，）；

（3）設點P的坐標為（x，y），y＝﹣x2+2x+3，

設S＝S△ABM，

則S1﹣S2＝（S1+S）﹣（S+S2）＝S△ABP﹣S△BDO

＝×AB×y﹣×OB×OD

＝×4×y×3×3

＝﹣2x2+4x+，

∵﹣2＜0，故S1﹣S2有最大值，

當x＝1時，其最大值為；

故S1﹣S2的最大值為．