數(shù)學(xué)課上,老師提出:
如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點,A點的坐標(biāo)為(1,0),點B在x軸上,且在點A的右側(cè),AB=OA,過點A和B作x軸的垂線,分別交二次函數(shù)y=x2的圖象于點C和D,直線OC交BD于點M,直線CD交y軸于點H,記點C、D的橫坐標(biāo)分別為xC、xD,點H的縱坐標(biāo)為yH
同學(xué)發(fā)現(xiàn)兩個結(jié)論:
①S△CMD:S梯形ABMC=2:3 ②數(shù)值相等關(guān)系:xC•xD=-yH
(1)請你驗證結(jié)論①和結(jié)論②成立;
(2)請你研究:如果上述框中的條件“A的坐標(biāo)(1,0)”改為“A的坐標(biāo)(t,0)(t>0)”,其他條件不變,結(jié)論①是否仍成立(請說明理由);
(3)進(jìn)一步研究:如果上述框中的條件“A的坐標(biāo)(1,0)”改為“A的坐標(biāo)(t,0)(t>0)”,又將條件“y=x2”改為“y=ax2(a>0)”,其他條件不變,那么xC、xD與yH有怎樣的數(shù)值關(guān)系?(寫出結(jié)果并說明理由)

【答案】分析:(1)可先根據(jù)AB=OA得出B點的坐標(biāo),然后根據(jù)拋物線的解析式和A,B的坐標(biāo)得出C,D兩點的坐標(biāo),再依據(jù)C點的坐標(biāo)求出直線OC的解析式.進(jìn)而可求出M點的坐標(biāo),然后根據(jù)C、D兩點的坐標(biāo)求出直線CD的解析式進(jìn)而求出D點的坐標(biāo),然后可根據(jù)這些點的坐標(biāo)進(jìn)行求解即可;
(2)(3)的解法同(1)完全一樣.
解答:解:(1)由已知可得點B的坐標(biāo)為(2,0),點C坐標(biāo)為(1,1),點D的坐標(biāo)為(2,4),
由點C坐標(biāo)為(1,1)易得直線OC的函數(shù)解析式為y=x,
故點M的坐標(biāo)為(2,2),
所以S△CMD=1,S梯形ABMC=
所以S△CMD:S梯形ABMC=2:3,
即結(jié)論①成立.
設(shè)直線CD的函數(shù)解析式為y=kx+b,

解得
所以直線CD的函數(shù)解析式為y=3x-2.
由上述可得,點H的坐標(biāo)為(0,-2),yH=-2
因為xC•xD=2,
所以xC•xD=-yH,
即結(jié)論②成立;

(2)(1)的結(jié)論仍然成立.
理由:當(dāng)A的坐標(biāo)(t,0)(t>0)時,點B的坐標(biāo)為(2t,0),點C坐標(biāo)為(t,t2),點D的坐標(biāo)為(2t,4t2),
由點C坐標(biāo)為(t,t2)易得直線OC的函數(shù)解析式為y=tx,
故點M的坐標(biāo)為(2t,2t2),
所以S△CMD=t3,S梯形ABMC=t3.
所以S△CMD:S梯形ABMC=2:3,
即結(jié)論①成立.
設(shè)直線CD的函數(shù)解析式為y=kx+b,

解得
所以直線CD的函數(shù)解析式為y=3tx-2t2
由上述可得,點H的坐標(biāo)為(0,-2t2),yH=-2t2
因為xC•xD=2t2
所以xC•xD=-yH,
即結(jié)論②成立;

(3)由題意,當(dāng)二次函數(shù)的解析式為y=ax2(a>0),且點A坐標(biāo)為(t,0)(t>0)時,點C坐標(biāo)為(t,at2),點D坐標(biāo)為(2t,4at2),
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b,
則:,
解得
所以直線CD的函數(shù)解析式為y=3atx-2at2,則點H的坐標(biāo)為(0,-2at2),yH=-2at2
因為xC•xD=2t2,
所以xC•xD=-yH
點評:本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、一次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法、函數(shù)圖象的交點等知識點.
練習(xí)冊系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

數(shù)學(xué)課上,老師提出:
如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點,A點的坐標(biāo)為(1,0),點B在x軸上,且在點A的右側(cè),AB=OA,過點A和B作x軸的垂線,分別交二次函數(shù)y=x2的圖象于點C和D,直精英家教網(wǎng)線OC交BD于點M,直線CD交y軸于點H,記點C、D的橫坐標(biāo)分別為xC、xD,點H的縱坐標(biāo)為yH
同學(xué)發(fā)現(xiàn)兩個結(jié)論:
①S△CMD:S梯形ABMC=2:3 ②數(shù)值相等關(guān)系:xC•xD=-yH
(1)請你驗證結(jié)論①和結(jié)論②成立;
(2)請你研究:如果上述框中的條件“A的坐標(biāo)(1,0)”改為“A的坐標(biāo)(t,0)(t>0)”,其他條件不變,結(jié)論①是否仍成立(請說明理由);
(3)進(jìn)一步研究:如果上述框中的條件“A的坐標(biāo)(1,0)”改為“A的坐標(biāo)(t,0)(t>0)”,又將條件“y=x2”改為“y=ax2(a>0)”,其他條件不變,那么xC、xD與yH有怎樣的數(shù)值關(guān)系?(寫出結(jié)果并說明理由)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

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如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點,A點的坐標(biāo)為(1,0),點B在x軸上,且在點A的右側(cè),AB=OA,過點A和B作x軸的垂線,分別交二次函數(shù)y=x2的圖象于點C和D,直線OC交BD于點M,直線CD交y軸于點H,記點C、D的橫坐標(biāo)分別為xC、xD,點H的縱坐標(biāo)為yH
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2008年四川省成都市樹德中學(xué)自主招生考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2004年全國中考數(shù)學(xué)試題匯編《二次函數(shù)》(05)(解析版) 題型:解答題

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(2)請你研究:如果上述框中的條件“A的坐標(biāo)(1,0)”改為“A的坐標(biāo)(t,0)(t>0)”,其他條件不變,結(jié)論①是否仍成立(請說明理由);
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同學(xué)發(fā)現(xiàn)兩個結(jié)論:
①S△CMD:S梯形ABMC=2:3 ②數(shù)值相等關(guān)系:xC•xD=-yH
(1)請你驗證結(jié)論①和結(jié)論②成立;
(2)請你研究:如果上述框中的條件“A的坐標(biāo)(1,0)”改為“A的坐標(biāo)(t,0)(t>0)”,其他條件不變,結(jié)論①是否仍成立(請說明理由);
(3)進(jìn)一步研究:如果上述框中的條件“A的坐標(biāo)(1,0)”改為“A的坐標(biāo)(t,0)(t>0)”,又將條件“y=x2”改為“y=ax2(a>0)”,其他條件不變,那么xC、xD與yH有怎樣的數(shù)值關(guān)系?(寫出結(jié)果并說明理由)

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