Question

如圖，A、B、C為⊙O上三點，且

AB

=

BC

=

CA

，連接AB、BC、CA．
（1）試確定△ABC的形狀；
（2）若AB=a，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點：圓心角、弧、弦的關(guān)系,等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)

AB

=

BC

=

CA

，可得出AB=BC=AC，即可得出三角形的形狀；
（2）過點O作OD⊥BC，垂足為D，連接OC，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得出⊙O的半徑．

解答：解：（1）∵

AB

=

BC

=

CA

，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC為等邊三角形；
（2）過點O作OD⊥BC，垂足為D，連接OC，
∴CD=

1

2

BC=

1

2

a，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠OCD=30°，
設(shè)OD=x，則OC=2x，
∴OD²+CD²=OC²，
∴x²+

1

4

a²=4x²，
∴x=

3

6

a，
∴⊙O的半徑為

3

3

．

點評：本題考查了圓心角、弧、弦以及等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，是一道綜合性較強的題目，難度不大．