Question

如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AC邊上有點D，連接BD，以BD為腰作等腰直角三角形BDE，DE交BC于F，那么下面結(jié)論：①△ABD∽△CBE，②∠BCE=90°，③DF•EF=BF•CF，④BC-CE=

2

CD，其中正確的結(jié)論是﹙﹚

• A、①②
• B、①②③
• C、②③④
• D、①②③④

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：由條件可知△ABC∽△DBE，則可得到

AB

BD

=

BC

BE

，則有

AB

BC

=

BD

BE

，且可得∠ABD=∠CBE，可知①正確，則②也正確，則可證得△DBF∽△CEF，可得到

DF

CF

=

BF

EF

，可得到③，由勾股定理可得BC=

2

AC，且

AD

CE

=

AB

BC

=

1

2

可得CE=

2

AD，則可得出④，可得出答案．

解答：解：∵△ABC和△DBE為等腰直角三角形，
∴△ABC∽△DBE，
∴

AB

BD

=

BC

BE

，
∴

AB

BC

=

BD

BE

，
∵∠ABD+∠DBC=∠DBC+CBE=45°，
∴∠ABD=∠CBE，
∴△ABD∽△CBE，
∴∠BCE=∠A=90°，
∴①②正確；
在△BDF和△ECF中
∵∠BDE=∠ECF=90°，∠BFD=∠CFE，
∴△BDF∽△ECF，
∴

DF

CF

=

BF

EF

，
∴DF•EF=BF•CF，
∴③正確；
由勾股定理可得BC=

2

AC，由

AD

CE

=

AB

BC

=

1

2

可得CE=

2

AD，
∴BC-CE=

2

AC-

2

AD=

2

（AC-AD）=

2

CD，
∴④正確；
綜上可知①②③④都正確，
故選D．

點評：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，證得△ABD∽△CBE是解決其他幾個結(jié)論的關(guān)鍵，注意利用相似尋找證相似的條件．