Question

如圖，拋物線(xiàn)＝－＋5＋經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（4，0），與軸交于另一點(diǎn)A，與軸交于點(diǎn)B．

（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；

（2）P是軸上一點(diǎn)，△PAB是等腰三角形，試求P點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）若·Q的半徑為1，圓心Q在拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)·Q與軸相切時(shí)，求·Q上的點(diǎn)到點(diǎn)B的最短距離．

 

Answer 1

【答案】

（1）A（1，0），B（0，－4）；（2）P₁（0，4），P₂（0，－），P₃（0，－4－）；

（3）－1

【解析】

試題分析：（1）將C代入＝－＋5＋即可求得拋物線(xiàn)的解折式，再把＝0與＝0代入求得的拋物線(xiàn)的解折式即可求得結(jié)果；

（2）先根據(jù)題意作出圖形，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求解即可；

（3）由題意當(dāng)Q的橫坐標(biāo)為1或－1時(shí)成立，再代入拋物線(xiàn)解析式即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，連Q₁B（即AB），交⊙Q₁于M. 連Q₂B，交⊙Q₂于N，MB和NB即為所求.

（1）將C代入拋物線(xiàn)的解折式得：0＝－4²＋5×4＋，＝－4，所以＝－²＋5－4

令＝0，則－²＋5－4＝0，解得₁＝4， ₂＝1，所以A（1，0）

令＝0，則＝－0²＋5×0－4＝－4，所以B（0，－4）；

（2）如圖，P點(diǎn)有三個(gè).

P₁（0，4）

令∣P₂B∣＝. 則∣0P₂∣＝4－

∣P₂A∣²＝∣0P₂∣²＋∣0A∣²＝（4－）²＋1²＝²，解得＝

P₂（0，－）

∣BP₃∣＝AB＝＋＝

P₃（0，－4－）；

（3）當(dāng)Q的橫坐標(biāo)為1或－1時(shí)成立

＝－1²＋5×1－4＝0.  Q₁（1，0）

＝－（－1）²＋5×（－1）－4＝－10，Q₂（－1，－10）

連Q₁B（即AB），交⊙Q₁于M. 連Q₂B，交⊙Q₂于N，MB和NB即為所求

MB＝Q₁B－Q₁M＝AB－QM＝－1 

NB＝Q₂B－Q₂N＝－1＝－1.

考點(diǎn)：二次函數(shù)的綜合題

點(diǎn)評(píng)：此類(lèi)問(wèn)題綜合性強(qiáng)，難度較大，在中考中比較常見(jiàn)，一般作為壓軸題，題目比較典型．