Question

已知，如圖：⊙M交x軸于A（-，0），B（，0）兩點(diǎn)，交y軸于C（3，0），D兩點(diǎn)．
（1）求M點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）P為弧BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接BC，PA，PC，當(dāng)P點(diǎn)在弧BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)．求證PC+PB=PA．

Answer 1

解：（1）連接BD，
∵CD⊥AB，B（，0），C（3，0），
∴BC=2，
∴∠OCB=30°，
∵CD為直徑，
∴∠CBD=90°，
∴∠OBD=30°，
∴tan30°=，
∴OD=1，
∴OM=-OD=1，
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1），

（2）在PA上截取PE=PB，連接AC，
∵CD⊥AB，CD為直徑，
∴OA=OB，，
∴∠APB=2∠DCB，AC=BC，
∵∠DCB=30°，
∴∠APB=60°，∠CBA=60°，
∴∠CPA=60°，
∵PB=PE，
∴△PMB和△ABC為等邊三角形，
∴∠AEB=120°，∠CPB=120°，BC=BA，
∵在△CPB和△AEB中，
，
∴△CPB≌△AEB（AAS），
∴AE=PC，
∵PA=EA+EP，
∴PA=PC+PB．
分析：（1）連接BD，由點(diǎn)A，B，C點(diǎn)的坐標(biāo)，依據(jù)垂徑定理，推出CD⊥AB，OA=OB，再根據(jù)勾股定理推出BC的長(zhǎng)度，即可求出∠BCO的度數(shù)，然后根據(jù)圓周角定理推出∠CBD=90°，求得∠DBO=30°，再根據(jù)30°角的正切值推出OD的長(zhǎng)度，即可推出OM的長(zhǎng)度；
（2）在PA上截取PE=PB，連接AC，根據(jù)（1）中所推出的結(jié)論，首先求出△PMB和△ABC為等邊三角形，然后通過(guò)求證△CPB和△AMB全等，即可推出AE=PC，最后通過(guò)等量代換即可推出結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓周角定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)的定義、垂徑定理，關(guān)鍵在于正確地作出輔助線(xiàn)，熟練運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)定理求出相關(guān)角的度數(shù)、角的相等關(guān)系、線(xiàn)段的相等關(guān)系．