已知:拋物線y=ax2+4ax+t與x軸的一個交點為A(-1,0)
(1)求拋物線與x軸的另一個交點B的坐標(biāo);
(2)D是拋物線與y軸的交點,C是拋物線上的一點,且以AB為一底的梯形ABCD的面積為9,求此拋物線的解析式;
(3)E是第二象限內(nèi)到x軸、y軸的距離的比為5:2的點,如果點E在(2)中的拋物線上,且它與點A在此拋物線對稱軸的同側(cè),問:在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使△APE的周長最?若存在,求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】
分析:(1)根據(jù)拋物線的解析式可知:拋物線的對稱軸為x=-2,由此可求出B點的坐標(biāo).
(2)可將A點坐標(biāo)代入拋物線的解析式中,求出a與t的關(guān)系式,然后將拋物線中的t用a替換掉,根據(jù)這個拋物線的解析式可表示出C點的坐標(biāo),然后根據(jù)梯形的面積求出a的值,即可得出拋物線的解析式.
(3)可根據(jù)E點橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的比例關(guān)系以及所處的象限設(shè)出E點的坐標(biāo),然后將它代入拋物線的解析式中即可求出E點的坐標(biāo).要使PA+EP最小,根據(jù)軸對稱圖象的性質(zhì)和兩點間線段最短可知:如果去A關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點B,連接BE,那么BE與拋物線對稱軸的交點就是P點的位置,可先求出直線BE的解析式然后聯(lián)立拋物線的對稱軸方程即可求出P的坐標(biāo).
解答:解:(1)依題意,拋物線的對稱軸為x=-2,
∵拋物線與x軸的一個交點為A(-1,0),
∴由拋物線的對稱性,可得拋物線與x軸的另一個交點B的坐標(biāo)為(-3,0).
(2)∵拋物線y=ax
2+4ax+t與x軸的一個交點為A(-1,0)
∴a(-1)
2+4a(-1)+t=0
∴t=3a
∴y=ax
2+4ax+3a
∴D(0,3a)
∴梯形ABCD中,AB∥CD,且點C在拋物線y=ax
2+4ax+3a上,
∵C(-4,3a)
∴AB=2,CD=4
∵梯形ABCD的面積為9
∴
(AB+CD)•OD=9
∴
(2+4)•|3a|=9
∴a=±1
∴所求拋物線的解析式為y=x
2+4x+3或y=-x
2-4x-3.
(3)設(shè)點E坐標(biāo)為(x
,y
),
依題意,x
<0,y
>0,且
∴y
=-
x
①設(shè)點E在拋物線y=x
2+4x+3上,
∴y
=x
2+4x
+3
解方程組
得
,
∵點E與點A在對稱軸x=-2的同側(cè)
∴點E坐標(biāo)為(
,
).
設(shè)在拋物線的對稱軸x=-2上存在一點P,使△APE的周長最小.
∵AE長為定值,
∴要使△APE的周長最小,只須PA+PE最小
∴點A關(guān)于對稱軸x=-2的對稱點是B(-3,0)
∴由幾何知識可知,P是直線BE與對稱軸x=-2的交點
設(shè)過點E、B的直線的解析式為y=mx+n
∴
,
解得
∴直線BE的解析式為y=
x+
∴把x=-2代入上式,得y=
∴點P坐標(biāo)為(-2,
)
②設(shè)點E在拋物線y=-x
2-4x-3上
∴y
=-x
2-4x
-3,
解方程組
消去y
,得
∴△<0
∴此方程組無實數(shù)根.
綜上,在拋物線的對稱軸上存在點P(-2,
),使△APE的周長最。
點評:本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、圖象面積的求法等知識點.綜合性強(qiáng),難度較大.