Question

如圖（1），在Rt△ACB中，∠C=90°，以BC為直徑作⊙O交AB于點D．
（Ⅰ）求證：=；
（Ⅱ）當點E是AC的中點時，如圖（2）所示，直線ED與⊙O相切嗎？請說明理由．

Answer 1

證明：（Ⅰ）連接CD．
∵BC為直徑，∴∠ADC=90°…（1分）
∵∠ACB=90°，∴∠ADC=∠ACB…（2分）
∵∠A=∠A，∴Rt△ADC∽Rt△ACB …（3分）
∴=…（4分）

（Ⅱ）ED與⊙O相切． …（5分）
理由如下：連接OD．
∵DE是Rt△ADC的中線．∴ED=EC…（6分）
∴∠EDC=∠ECD．…（7分）
∵OC=OD，∴∠ODC=∠OCD．
∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°…（8分）
∴ED與⊙O相切．
分析：（Ⅰ）連接CD．根據(jù)相似三角形的判定定理AA證得Rt△ADC∽Rt△ACB，然后由相似三角形的對應邊成比例可以證得結論；
（Ⅱ）ED與⊙O相切．連接OD．欲證直線ED與⊙O相切，只需證明ED⊥OD，即∠EDO=90°即可．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質、切線的性質．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．