Question

已知：一元二次方程x²+px+q+1=0的一根為2．
（1）求q關(guān)于p的關(guān)系式；
（2）求證：拋物線y=x²+px+q+1與x軸總有交點；
（3）當p=-1時，（2）中的拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，A在B的左側(cè)，若P點在拋物線上，當S_△BPC=4時，求P點的坐標．

Answer 1

（1）解：∵方程的根為2，
∴4+2p+q+1=0，
∴q=-2p-5；

（2）證明：△=p²-4（q+1），
=p²-4（-2p-5+1），
=p²+8p+16，
=（p+4）²，
∵（p+4）²≥0，
∴△≥0，
∴拋物線y=x²+px+q+1與x軸總有交點；

（3）解：當p=-1時，q=-2×（-1）-5=-3，
∴拋物線的解析式為：y=x²-x-2．
∵B（2，0）C（0，-2），
∴BC=，∠OBC=45°．
∵S_△PBC=4．
∴．
∴．
過B點作BD⊥BC交y軸于點D，
∴DO=BO=CO，
∴D點的坐標為：（0，2），
∴BD=，
過D點作DE∥BC交x軸于點E，
∵∠ODB=∠OBD=45°∠EDB=90°，
∴∠EDO=45°，
∴E（-2，0），
設(shè)直線DE的解析式為y=kx+b（k≠0），
∴，
∴解得，
∴直線DE的解析式為y=x+2．
設(shè)直線DE與拋物線的交點P（x，y），
∴，
∴，
∴，．
分析：（1）將2代替一元二次方程x²+px+q+1=0中的x即可得到pq之間的關(guān)系式；
（2）證明拋物線與x軸總有交點即可證明其根的判別式中大于零即可；
（3）利用p=-1求得拋物線的解析式，利用圍成的三角形的面積求得P點的坐標即可．
點評：本題考查了函數(shù)綜合知識，函數(shù)綜合題是初中數(shù)學中覆蓋面最廣、綜合性最強的題型．近幾年的中考壓軸題多以函數(shù)綜合題的形式出現(xiàn)．解決函數(shù)綜合題的過程就是轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、方程思想的應(yīng)用過程．