Question

如圖，點(diǎn)M是直線y=2x+3上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN垂直于x軸于點(diǎn)N，且點(diǎn)P在y軸上，若使△MNP為等腰直角三角形，請寫出符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,等腰三角形的判定

專題：

分析：分四種情況考慮：當(dāng)M運(yùn)動(dòng)到（-1，1）時(shí)，ON=1，MN=1，由MN⊥x軸，以及ON=MN；又當(dāng)M運(yùn)動(dòng)到第三象限時(shí)，要MN=MP，且PM⊥MN時(shí)；若MN為斜邊時(shí)，則∠ONP=45°，所以O(shè)N=OP，求出此時(shí)M坐標(biāo)；又當(dāng)點(diǎn)M′在第二象限，M′N′為斜邊時(shí)，這時(shí)N′P=M′P，∠M′N′P=45°，求出此時(shí)M坐標(biāo)，綜上，得到所有滿足題意M的坐標(biāo)．

解答：解：如圖1，
當(dāng)M運(yùn)動(dòng)到（-1，1）時(shí)，ON=1，MN=1，
∵M(jìn)N⊥x軸，所以由ON=MN可知，△MNP為等腰直角三角形；

如圖2，當(dāng)M運(yùn)動(dòng)到第三象限時(shí)，要MN=MP，且PM⊥MN，
設(shè)點(diǎn)M（x，2x+3），則有：-x=-（2x+3），
解得：x=-3，
所以點(diǎn)M坐標(biāo)為（-3，-3）．

若MN為斜邊時(shí)，則∠ONP=45°，所以O(shè)N=OP，設(shè)點(diǎn)M（x，2x+3），
則有-x=-

1

2

（2x+3），化簡得-2x=-2x-3，
這方程無解，所以這時(shí)不存在符合條件的M點(diǎn)；
如圖2，∵當(dāng)點(diǎn)M′在第二象限，M′N′為斜邊時(shí)，這時(shí)N′P=M′P，∠M′N′P=45°，
設(shè)點(diǎn)M′（x，2x+3），則OP=ON′，而OP=

1

2

M′N′，
∴有-x=

1

2

（2x+3），
解得：x=-

3

4

，
∴M′（-

3

4

，

3

2

），
綜上，符合條件的點(diǎn)M坐標(biāo)是（-3，-3），（-1，1），（-

3

4

，

3

2

）．
故答案為：（-3，-3），（-1，1），（-

3

4

，

3

2

）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：等腰直角三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，利用了分類討論的思想，分類討論時(shí)注意考慮問題要全面，做到不重不漏．