Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，ABCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2 ），點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)E為線段AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E的直線l與x軸交于點(diǎn)F，與射線DC交于點(diǎn)G．

（1）求∠DCB的度數(shù)；
（2）當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣4，0）時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；
（3）連接OE，以O(shè)E所在直線為對(duì)稱軸，△OEF經(jīng)軸對(duì)稱變換后得到△OEF'，記直線EF'與射線DC的交點(diǎn)為H．
如圖2，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)H的左側(cè)時(shí)，求證：△DEG∽△DHE．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在Rt△AOD中，

∵tan∠DAO= = = ，

∴∠DAB=60°，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠DCB=∠DAB=60°．

（2）

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴CD∥AB，

∴∠DGE=∠AFE，

又∵∠DEG=∠AEF，DE=AE，

∴△DEG≌△AEF，

∴DG=AF

∵AF=OF﹣OA=4﹣2=2，

∴DG=2，

∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（2，2 ），

（3）

∵CD∥AB，

∴∠DGE=∠OFE，

∵△OEF經(jīng)軸對(duì)稱變換后得到△OEF′，

∴∠OFE=∠OF′E，

∴∠DGE=∠OF′E，

在Rt△AOD中，∵E是AD的中點(diǎn)，

∴OE= AD=AE

又∵∠EAO=60°

∴∠EOA=60°，∠AEO=60°，

又∵∠EOF'=∠EOA=60°，

∴∠EOF′=∠OEA，

∴AD∥OF′，

∴∠OF′E=∠DEH，

∴∠DEH=∠DGE，

又∵∠HDE=∠EDG，

∴△DHE∽△DEG．

【解析】（1）由于平行四邊形的對(duì)角相等，只需求得∠DAO的度數(shù)即可，在Rt△OAD中，根據(jù)A、D的坐標(biāo)，可得到OA、OD的長(zhǎng)，那么∠DAO的度數(shù)就不難求了．（2）根據(jù)點(diǎn)E、F的坐標(biāo)求得直線EF的方程，然后將點(diǎn)G的縱坐標(biāo)代入該直線方程即可求得點(diǎn)G的橫坐標(biāo)．（3）根據(jù)A、D的坐標(biāo)，易求得E點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到AE、OE的長(zhǎng)，由此可判定△AOE是等邊三角形，那么∠OEA=∠AOE=∠EOF′=60°，由此可推出OF′∥AE，即∠DEH=∠OF′E，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)知∠OF′E=∠EFA，通過(guò)等量代換可得∠EFA=∠DGE=∠DEH，由此可證得所求的三角形相似．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)和作軸對(duì)稱圖形，掌握平行四邊形的對(duì)邊相等且平行；平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)；平行四邊形的對(duì)角線互相平分；畫對(duì)稱軸圖形的方法：①標(biāo)出關(guān)鍵點(diǎn)②數(shù)方格，標(biāo)出對(duì)稱點(diǎn)③依次連線即可以解答此題．