Question

【題目】（1）證明推斷：如圖①，在△ABC中，D，E分別是邊BC，AB的中點，AD，CE相交于點G，求證：．

（2）類比探究：如圖②，在正方形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，E為邊BC的中點，AE、BD交于點F，若AB＝6，求OF的長；

（3）拓展運用：若正方形ABCD變?yōu)?/span>□ABCD，如圖③，連結(jié)DE交AC于點G，若四邊形OFEG的面積為，求□ABCD的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）6

【解析】

（1）如圖①，連結(jié)ED，根據(jù)三角形的中位線定理可得DE∥AC，DE＝AC，進(jìn)而可得△DEG∽△ACG，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和比例的性質(zhì)即可證得結(jié)論；

（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD∥BC，BE＝BC＝AD，BO＝BD，進(jìn)而可得△BEF∽△DAF，于是，進(jìn)一步即可推得OF與BD的關(guān)系，而BD易求，則OF可得；

（3）如圖③，連接OE，由（2）題的結(jié)論可推出，進(jìn)而可得△BEF與△OEF的面積比為2，同理可得△CEG與△OEG的面積比，進(jìn)一步即可求出△BOC的面積，而S□ABCD＝4 S△BOC，問題即得解決．

證明：（1）如圖①，連結(jié)ED，

在△ABC中，∵D，E分別是邊BC，AB的中點，

∴DE∥AC，DE＝AC，

∴△DEG∽△ACG，

∴，

∴，

∴；

（2）解：如圖②．

∵四邊形ABCD為正方形，E為邊BC的中點，

∴AD∥BC，BE＝BC＝AD，BO＝BD，

∴△BEF∽△DAF，

∴，

∴BF＝DF，

∴BF＝BD．

∵BO＝BD，

∴OF＝OB﹣BF＝BD﹣BD＝BD．

∵正方形ABCD中，AB＝6，

∴BD＝6，

∴OF＝；

（3）如圖③，連接OE．

由（2）題知，BF＝BD，OF＝BD，

∴．

∵△BEF與△OEF的高相同，

∴△BEF與△OEF的面積比為2，

同理，△CEG與△OEG的面積比＝2，

∴S△CEG+S△BEF＝2（S△OEG+S△OEF）＝2×＝1，

∴S△BOC＝，

∴S□ABCD＝4 S△BOC＝4×＝6．