Question

【題目】如圖，在邊長為 6 的等邊△ABC 中，D 為 AC 上一點，AD=2，P 為 BD 上一點，連接 CP，以 CP 為 邊，在 PC 的右側作等邊△CPQ，連接 AQ 交 BD 延長線于 E，當△CPQ 面積最小時，QE=____________．

Answer 1

【答案】

【解析】

如圖，過點D作DF⊥BC于F，由“SAS”可證△ACQ≌△BCP，可得AQ＝BP，∠CAQ＝∠CBP，由直角三角形的性質和勾股定理可求BD的長，由銳角三角函數(shù)可求BP的長，由相似三角形的性質可求AE的長，即可求解．

如圖，過點D作DF⊥BC于F，

∵△ABC，△PQC是等邊三角形，

∴BC＝AC，PC＝CQ，∠BCA＝∠PCQ＝60°，

∴∠BCP＝∠ACQ，且AC＝BC，CQ＝PC，

∴△ACQ≌△BCP（SAS）

∴AQ＝BP，∠CAQ＝∠CBP，

∵AC＝6，AD＝2，

∴CD＝4，

∵∠ACB＝60°，DF⊥BC，

∴∠CDF＝30°，

∴CF＝CD＝2，DF＝CF÷tan30°=CF＝2，

∴BF＝4，

∴BD＝==2，

∵△CPQ是等邊三角形，

∴S△CPQ＝CP2，

∴當CP⊥BD時，△CPQ面積最小，

∴cos∠CBD＝，

∴，

∴BP＝，

∴AQ＝BP＝，

∵∠CAQ＝∠CBP，∠ADE＝∠BDC，

∴△ADE∽△BDC，

∴，

∴，

∴AE＝，

∴QE＝AQAE＝

故答案為；．