Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜邊AB上一點O為圓心，OB為半徑作⊙O，交AC于點E，交AB于點D，且∠BEC=∠BDE．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）連接OC交BE于點F，若

CE

AE

=

2

3

，求

OF

CF

的值．

Answer 1

考點：切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接OE，證得OE⊥AC即可確定AC是切線；
（2）根據(jù)OE∥BC，分別得到△AOE∽△ACB和△OEF∽△CBF，利用相似三角形對應(yīng)邊的比相等找到中間比即可求解．

解答：解：（1）證明：連接OE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∵∠ACB=90°，
∴∠CBE+∠BEC=90°，
∵BD為⊙O的直徑，
∴∠BED=90°，
∴∠DBE+∠BDE=90°，
∴∠CBE=∠DBE，
∴∠CBE=∠OEB，
∴OE∥BC，
∴∠OEA=∠ACB=90°，
即OE⊥AC，
∴AC為⊙O的切線；

（2）∵OE∥BC，∴△AOE∽△ACB，
∴

OE

BC

=

AE

AC

，
∵

CE

AE

=

2

3

，
∴

AE

AC

=

3

5

，
∴

OE

BC

=

3

5

，
∵OE∥BC，
∴△OEF∽△CBF，
∴

OF

CF

=

OE

BC

=

3

5

．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)及判斷，在解決切線問題時，常常連接圓心和切點，證明垂直或根據(jù)切線得到垂直．