Question

以△ABC的三邊為邊在BC的同一側(cè)分別作三個等邊三角形，即△ABD、△BCE、△ACF．
（1）請猜想四邊形ADEF是什么特殊四邊形？并說明理由；
（2）當△ABC滿足條件

 

時，四邊形ADEF為矩形；
（3）當△ABC滿足條件

 

時，四邊形ADEF不存在．

Answer 1

考點：矩形的判定,全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),平行四邊形的判定

專題：

分析：（1）可先證明△ABC≌△DBE，可得DE=AC，又有AC=AF，可得DE=AF，同理可得AD=EF，根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，可證四邊形ADEF是平行四邊形；
（2）如四邊形ADEF是矩形，則∠DAF=90°，又有∠BAD=∠FAC=60°，可得∠BAC=150°，故∠BAC=150°時，四邊形ADEF是矩形；
（3）根據(jù)∠BAC=60°時，∠DAF=180°，此時D、A、F三點在同一條直線上，以A，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形就不存在；

解答：解：（1）四邊形ADEF是平行四邊形；
證明∵△ABD，△BCE都是等邊三角形，
∴∠DBE=∠ABC=60°-∠ABE，AB=BD，BC=BE．
在△ABC和△DBE中，

AB=BD ∠ABC=∠DBE BC=BE

，
∴△ABC≌△DBE（SAS）．
∴DE=AC．
又∵AC=AF，
∴DE=AF．
同理可得EF=AD．
∴四邊形ADEF是平行四邊形．

（2）∵四邊形ADEF是平行四邊形，
∴當∠DAF=90°時，四邊形ADEF是矩形，
∴∠FAD=90°．
∴∠BAC=360°-∠DAF-∠DAB-∠FAC=360°-90°-60°-60°=150°．
則當∠BAC=150°時，四邊形ADEF是矩形；
故答案為：∠BAC=150°；

（3）當∠BAC=60°時，∠DAF=180°，
此時D、A、F三點在同一條直線上，以A，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形就不存在．
故答案為：∠BAC=60°．

點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和為180°、平行四邊形和矩形的判定等知識，熟練掌握相關(guān)的定理是解題關(guān)鍵．