Question

【題目】如圖，拋物線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AB，AC，BC．

求拋物線的表達(dá)式；

求證：AB平分；

拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使得是以AB為直角邊的直角三角形，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】拋物線的解析式為；證明見(jiàn)解析；點(diǎn)M的坐標(biāo)為或．

【解析】

將，代入拋物線的解析式得到關(guān)于a、b的方程組，從而可求得a、b的值；

先求得AC的長(zhǎng)，然后取，則，連接BD，接下來(lái)，證明，然后依據(jù)SSS可證明≌，接下來(lái)，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到；

作拋物線的對(duì)稱軸交x軸與點(diǎn)E，交BC與點(diǎn)F，作點(diǎn)A作，作，分別交拋物線的對(duì)稱軸與、M，依據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)可得到，從而可得到或，從而可得到FM和的長(zhǎng)，故此可得到點(diǎn)和點(diǎn)M的坐標(biāo)．

將，代入得：，

解得：，，

拋物線的解析式為；

，，

，

取，則，

由兩點(diǎn)間的距離公式可知，

，，

，

，

在和中，，，，

≌，

，

平分；

如圖所示：拋物線的對(duì)稱軸交x軸與點(diǎn)E，交BC與點(diǎn)F．

拋物線的對(duì)稱軸為，則．

，，

，

，

，

，

，

同理：，

又，

，

，

點(diǎn)M的坐標(biāo)為或．