Question

如圖，∠BAC=45°，AD⊥BC于點D，且BD=3，CD=2，則AD的長為

 

．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,正方形的性質(zhì)

專題：

分析：如圖，過B作BE⊥AC，垂足為E交AD于F，由∠BAC=45°可以得到BE=AE，再根據(jù)已知條件可以證明△AFE≌△BCE，可以得到AF=BC=10，而∠FBD=∠DAC，又∠BDF=∠ADC=90°，由此可以證明△BDF∽△ADC，所以FD：DC=BD：AD，設(shè)FD長為x，則可建立關(guān)于x的方程，解方程即可求出FD，AD的長．

解答：解：如圖，過B作BE⊥AC，垂足為E交AD于F
∵∠BAC=45°
∴BE=AE，
∵∠C+∠EBC=90°，∠C+∠EAF=90°，
∴∠EAF=∠EBC，
在△AFE與△BCE中，

∠EAF=∠EBC BE=AE ∠FEA=∠CEB=90°

，
∴△AFE≌△BCE（ASA）
∴AF=BC=BD+DC=5，∠FBD=∠DAC，
又∵∠BDF=∠ADC=90°
∴△BDF∽△ADC
∴FD：DC=BD：AD
設(shè)FD長為x
即x：2=3：（x+5）
解得x=1
即FD=1
∴AD=AF+FD=5+1=6．
答：AD長為6．
故答案為：6．

點評：此題綜合運用了銳角三角函數(shù)和勾股定理進行計算．注意能夠熟練解二次方程．